Seja P1 o espaço dos polinômios de grau 1 e T: P1 P1 a transformação definida por T(a0+a1 x)= -2 a0-a1(x+1), dadas as bases B=p1, p2 e B^prime=q1, q2, sendo p1=-2+3 x, p2=3-2 x, q1=2+2 x, q2=3-2 x. Encontre a matriz de T em relação à base B e calcule a matriz de T em relação à base B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. Temos o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau 1 (ou seja, da forma ). A transformação pega um polinômio desse espaço e transforma ele de acordo com a regra .
O nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa essa transformação em relação às bases e fornecidas. Para isso, vamos precisar entender como age sobre os vetores (polinômios) dessas bases e expressar o resultado em coordenadas dessas mesmas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de em relação à base , onde e .
Para construir a matriz de nessa base, precisamos ver o que faz com cada vetor da base e depois expressar o resultado como combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(p1) = T(-2 + 3x) = -2(-2) - 3(x + 1) = 4 - 3x - 3 = 1 - 3x em 1 - 3x = c1 p1 + c2 p2 = c1(-2 + 3x) + c2(3 - 2x) :
1 - 3x = (-2c1 + 3c2) + (3c1 - 2c2)x
Agora, queremos expressar -2c1 + 3c2 = 1 3c1 - 2c2 = -3 como uma combinação linear dos vetores de -6c1 + 9c2 = 3 6c1 - 4c2 = -6 :
5c2 = -3 implies c2 = -35
Resolvendo para -2c1 + 3(-35) = 1 implies -2c1 - 95 = 1 implies -2c1 = 145 implies c1 = -75 e T(p1) = -75p1 - 35p2 :
Comparando coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para eliminar :
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar T(p2) = T(3 - 2x) = -2(3) - (-2)(x + 1) = -6 + 2x + 2 = -4 + 2x em -4 + 2x = d1 p1 + d2 p2 = d1(-2 + 3x) + d2(3 - 2x) :
-4 + 2x = (-2d1 + 3d2) + (3d1 - 2d2)x
Expressando -2d1 + 3d2 = -4 3d1 - 2d2 = 2 como combinação linear dos vetores de -6d1 + 9d2 = -12 6d1 - 4d2 = 4 :
5d2 = -8 implies d2 = -85
Resolvendo para -2d1 + 3(-85) = -4 implies -2d1 - 245 = -4 implies -2d1 = 45 implies d1 = -25 e T(p2) = -25p1 - 85p2 :
Comparando coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então:

Passo 5

Agora que temos como [T]B = -75 & -25 -35 & -85 age sobre os vetores da base , podemos montar a matriz de em relação a . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes das combinações lineares das imagens dos vetores base.
Então, a matriz é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a matriz de em relação à base , onde e .
Para isso, precisamos primeiro achar a relação entre as bases e , ou seja, como expressar os vetores de em termos de . Isso nos ajudará a transformar a matriz para a base .

Passo 7

Vamos expressar -2 + 3x = e1 q1 + e2 q2 = e1(2 + 2x) + e2(3 - 2x) e -2 + 3x = 2e1 + 3e2 + (2e1 - 2e2)x em termos de 2e1 + 3e2 = -2 2e1 - 2e2 = 3 e 2e1 + 3e2 = -2 2e1 - 2e2 = 3 .
Primeiro, 5e2 = -5 implies e2 = -1 :
2e1 + 3(-1) = -2 implies 2e1 - 3 = -2 implies 2e1 = 1 implies e1 = 12
Resolvendo para p1 = 12q1 - q2 e p2 = 0q1 + 1q2 :
Comparando coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 1 e a segunda por 1:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Agora, vamos expressar em termos de e :
Observamos que , então:

Passo 8

Com as expressões de P = 12 & 0 -1 & 1 e em termos de e , podemos construir a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de :
Essa matriz nos permite transformar coordenadas de para .

Passo 9

A matriz de [T]B' = P^-1 [T]B P na base P = 12 & 0 -1 & 1 é dada por:
det(P) = (12)(1) - (0)(-1) = 12
Primeiro, precisamos calcular P^-1 = 1det(P) 1 & 0 1 & 12 = 2 1 & 0 1 & 12 = 2 & 0 2 & 1 , a inversa de .
Calculando a inversa de :
O determinante de é:
A inversa é:

Passo 10

Agora, multiplicamos as matrizes [T]B P = -75 & -25 -35 & -85 12 & 0 -1 & 1 = -75 cdot 12 + (-25)(-1) & -75 cdot 0 + (-25)(1) -35 cdot 12 + (-85)(-1) & -35 cdot 0 + (-85)(1) , [T]B P = -710 + 25 & 0 - 25 -310 + 85 & 0 - 85 = -710 + 410 & -25 -310 + 1610 & -85 = -310 & -25 1310 & -85 e [T]B' = P^-1 [T]B P = 2 & 0 2 & 1 -310 & -25 1310 & -85 = 2 cdot -310 + 0 cdot 1310 & 2 cdot -25 + 0 cdot -85 2 cdot -310 + 1 cdot 1310 & 2 cdot -25 + 1 cdot -85 :
Primeiro, calculamos [T]B' = -610 & -45 -610 + 1310 & -45 - 85 = -35 & -45 710 & -125 :
Calculando os elementos:
Agora, multiplicamos pelo resultado:
Calculando os elementos:

Resposta

A matriz da transformação [T]B = -75 & -25 -35 & -85 em relação à base [T]B' = -35 & -45 710 & -125 é:
E a matriz de em relação à base é:

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