Seja
o espaço dos polinômios de grau 1 e
a transformação definida por
, dadas as bases
e
, sendo
,
. Encontre a matriz de
em relação à base
e calcule a matriz de
relação à base
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. Temos o espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau 1 (ou seja, da forma
). A transformação
pega um polinômio desse espaço e transforma ele de acordo com a regra
.
O nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa essa transformação
em relação às bases
e
fornecidas. Para isso, vamos precisar entender como
age sobre os vetores (polinômios) dessas bases e expressar o resultado em coordenadas dessas mesmas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz de
em relação à base
, onde
e
.
Para construir a matriz de
nessa base, precisamos ver o que
faz com cada vetor da base
e depois expressar o resultado como combinação linear dos vetores de
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
em
:
Agora, queremos expressar
como uma combinação linear dos vetores de
:
Resolvendo para
e
:
Comparando coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para eliminar
:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então:
Passo 4
Agora, vamos aplicar
em
:
Expressando
como combinação linear dos vetores de
:
Resolvendo para
e
:
Comparando coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então:
Passo 5
Agora que temos como
age sobre os vetores da base
, podemos montar a matriz de
em relação a
. Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes das combinações lineares das imagens dos vetores base.
Então, a matriz
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a matriz de
em relação à base
, onde
e
.
Para isso, precisamos primeiro achar a relação entre as bases
e
, ou seja, como expressar os vetores de
em termos de
. Isso nos ajudará a transformar a matriz
para a base
.
Passo 7
Vamos expressar
e
em termos de
e
.
Primeiro,
:
Resolvendo para
e
:
Comparando coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 1 e a segunda por 1:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na primeira equação:
Então:
Agora, vamos expressar
em termos de
e
:
Observamos que
, então:
Passo 8
Com as expressões de
e
em termos de
e
, podemos construir a matriz de mudança de base de
para
, que chamaremos de
:
Essa matriz nos permite transformar coordenadas de
para
.
Passo 9
A matriz de
na base
é dada por:
Primeiro, precisamos calcular
, a inversa de
.
Calculando a inversa de
:
O determinante de
é:
A inversa é:
Passo 10
Agora, multiplicamos as matrizes
,
e
:
Primeiro, calculamos
:
Calculando os elementos:
Agora, multiplicamos
pelo resultado:
Calculando os elementos:
Resposta
A matriz da transformação
em relação à base
é:
E a matriz de
em relação à base
é: