• Questïo: (2.5 pontos) Calcule as integrais:
    b) integral-1^2|x-1| d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida de |x - 1| no intervalo de -1 a 2. Isso envolve entender como funcionam as integrais de funções com valor absoluto. Vamos precisar dividir o intervalo em partes onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a expressão x - 1 muda de sinal, ou seja, onde ela é igual a zero. Resolvendo x - 1 = 0, encontramos x = 1. Esse é o ponto onde a função dentro do valor absoluto muda de comportamento.

Passo 3

Agora, dividimos o intervalo de integração em duas partes: de -1 a 1, onde x - 1 é negativo, e de 1 a 2, onde x - 1 é positivo. Então, podemos escrever a integral assim:
integral-1^2 |x - 1| , dx = integral-1^1 |x - 1| , dx + integral1^2 |x - 1| , dx

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  • De -1 a 1, como x - 1 é negativo, temos |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x.
  • De 1 a 2, como x - 1 é positivo, temos |x - 1| = x - 1.
Substituindo na integral:
integral-1^1 (1 - x) , dx + integral1^2 (x - 1) , dx

Passo 5

Agora, calculamos cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
integral-1^1 (1 - x) , dx = [ x - x^22 ]-1^1 = (1 - 12) - (-1 - 12) = 12 - (-32) = 2
  1. Segunda integral:
integral1^2 (x - 1) , dx = [ x^22 - x ]1^2 = (2 - 2) - (12 - 1) = 0 - (-12) = 12

Resposta

Somando as duas partes, a integral vale 2 + 12 = 52.

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