Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
f(x) = { 2 + x^2 se x <= 1; 4 - x^2 se 1 < x }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é encontrar os pontos de inflexão do gráfico dessa função, descobrir onde ele é côncavo para cima e para baixo, e fazer um esboço desse gráfico. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ponto de inflexão. É onde a curva muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal.
Vamos calcular a segunda derivada de cada parte da função:
  1. Para :
    A primeira derivada é:
    A segunda derivada é:
  2. Para :
    A primeira derivada é:
    A segunda derivada é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda derivada:
  • Para :
    Isso significa que o gráfico é côncavo para cima nessa região.
  • Para :
    Aqui, o gráfico é côncavo para baixo.
Parece que a concavidade muda exatamente em . Isso indica que pode haver um ponto de inflexão nesse ponto.

Passo 4

Vamos verificar o ponto :
  • Primeiramente, precisamos que a função seja contínua em . Vamos checar:
    Como os limites laterais são iguais e a função está definida como 3 em , a função é contínua nesse ponto.
  • Agora, para ser um ponto de inflexão, a concavidade deve mudar passando por esse ponto, o que realmente acontece aqui (de côncavo para cima para côncavo para baixo).
Portanto, é um ponto de inflexão.

Passo 5

Por fim, vamos resumir:
  • Ponto de inflexão:
  • Concavidade:
    • Côncavo para cima: Para
    • Côncavo para baixo: Para

Resposta

O ponto de inflexão está em , com coordenada . O gráfico da função é côncavo para cima quando e côncavo para baixo quando .

Exercícios relacionados