Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é encontrar os pontos de inflexão do gráfico dessa função, descobrir onde ele é côncavo para cima e para baixo, e fazer um esboço desse gráfico. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ponto de inflexão. É onde a curva muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal.
Vamos calcular a segunda derivada de cada parte da função:
-
Para
: A primeira derivada é:A segunda derivada é: -
Para
: A primeira derivada é:A segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda derivada:
-
Para
: Isso significa que o gráfico é côncavo para cima nessa região. -
Para
: Aqui, o gráfico é côncavo para baixo.
Parece que a concavidade muda exatamente em
. Isso indica que pode haver um ponto de inflexão nesse ponto.
Passo 4
Vamos verificar o ponto
:
-
Primeiramente, precisamos que a função seja contínua em
. Vamos checar: Como os limites laterais são iguais e a função está definida como 3 em, a função é contínua nesse ponto. -
Agora, para ser um ponto de inflexão, a concavidade deve mudar passando por esse ponto, o que realmente acontece aqui (de côncavo para cima para côncavo para baixo).
Portanto,
é um ponto de inflexão.
Passo 5
Por fim, vamos resumir:
- Ponto de inflexão:
- Concavidade:
- Côncavo para cima: Para
- Côncavo para baixo: Para
- Côncavo para cima: Para
Resposta
O ponto de inflexão está em
, com coordenada
. O gráfico da função é côncavo para cima quando
e côncavo para baixo quando
.