Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas implícitas e a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Como a função está definida implicitamente, não está isolada em termos de
, então vamos usar a regra da derivada implícita.
A equação é:
Vamos derivar cada termo em relação a
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo
. Usamos a regra da cadeia aqui:
Agora, diferenciando
em relação a
:
Então, o lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, diferenciamos o lado direito
em relação a
:
Então, a equação derivada fica:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos substituir o ponto
na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente.
Primeiro, calculamos
em
:
Então:
A inclinação
da reta tangente é
.
Passo 7
Com a inclinação e o ponto
, usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é:
Exercícios relacionados
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
i)
i)
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
a)
a)
Suponha que
e y são funções da variável t e estão relacionadas pela equação
. Se
, determine
.