Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
(1-x+y)^3 = x + 7 ; P = (1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas implícitas e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Como a função está definida implicitamente, não está isolada em termos de , então vamos usar a regra da derivada implícita.
A equação é:
Vamos derivar cada termo em relação a .

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo . Usamos a regra da cadeia aqui:
Agora, diferenciando em relação a :
Então, o lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, diferenciamos o lado direito em relação a :
Então, a equação derivada fica:

Passo 5

Vamos resolver para :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente.
Primeiro, calculamos em :
Então:
A inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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