Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é . O assunto aqui envolve cálculo de integrais impróprias e análise de convergência. Vamos precisar verificar se a integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender por que essa integral é chamada de imprópria. Isso acontece quando o integrando (a função dentro da integral) tem pontos de descontinuidade ou quando o intervalo de integração é infinito. No nosso caso, o denominador pode se tornar zero, o que criaria uma descontinuidade.
Passo 3
Vamos identificar os pontos problemáticos no intervalo de a . Sabemos que varia de 0 a 1 nesse intervalo, e varia de a . Quando , ou seja, em , o denominador se torna zero, causando uma descontinuidade.
Passo 4
Para analisar a convergência, vamos dividir a integral em duas partes, em torno do ponto onde ocorre a descontinuidade:
Vamos analisar cada parte separadamente.
Passo 5
Focando na primeira parte, , fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar . Então, , o que implica .
Passo 6
A substituição muda os limites de integração:
Quando , .
Quando , .
Então, a integral fica:
Passo 7
A integral é uma integral básica que resulta em . Então, avaliando de 0 a 1:
Passo 8
Agora, vamos para a segunda parte, integralpi2^pi cos xraiz1-sin x , dx. Fazemos a mesma substituição u = 1 - sin x, então du = -cos x , dx e cos x , dx = -du.