Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
i) integral0^pi cos xraiz1-sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é integral0^pi cos xraiz1-sin x , dx. O assunto aqui envolve cálculo de integrais impróprias e análise de convergência. Vamos precisar verificar se a integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender por que essa integral é chamada de imprópria. Isso acontece quando o integrando (a função dentro da integral) tem pontos de descontinuidade ou quando o intervalo de integração é infinito. No nosso caso, o denominador raiz1 - sin x pode se tornar zero, o que criaria uma descontinuidade.

Passo 3

Vamos identificar os pontos problemáticos no intervalo de 0 a pi. Sabemos que sin x varia de 0 a 1 nesse intervalo, e 1 - sin x varia de 1 a 0. Quando sin x = 1, ou seja, em x = pi2, o denominador raiz1 - sin x se torna zero, causando uma descontinuidade.

Passo 4

Para analisar a convergência, vamos dividir a integral em duas partes, em torno do ponto onde ocorre a descontinuidade:
integral0^pi cos xraiz1-sin x , dx = integral0^pi2 cos xraiz1-sin x , dx + integralpi2^pi cos xraiz1-sin x , dx
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 5

Focando na primeira parte, integral0^pi2 cos xraiz1-sin x , dx, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar u = 1 - sin x. Então, du = -cos x , dx, o que implica cos x , dx = -du.

Passo 6

A substituição muda os limites de integração:
  • Quando x = 0, u = 1 - sin 0 = 1.
  • Quando x = pi2, u = 1 - sin pi2 = 0.
Então, a integral fica:
integral1^0 -duraizu = integral0^1 duraizu

Passo 7

A integral integral duraizu é uma integral básica que resulta em 2raizu. Então, avaliando de 0 a 1:
2raizu |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2

Passo 8

Agora, vamos para a segunda parte, integralpi2^pi cos xraiz1-sin x , dx. Fazemos a mesma substituição u = 1 - sin x, então du = -cos x , dx e cos x , dx = -du.

Passo 9

Os novos limites de integração:
  • Quando x = pi2, u = 1 - sin pi2 = 0.
  • Quando x = pi, u = 1 - sin pi = 1.
Portanto, a integral se torna:
integral0^1 duraizu = 2raizu |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2

Passo 10

Somando as duas partes, temos:
2 + 2 = 4
Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é 4.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 4.

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