Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
(2 x + y)^3 = x ; x = -1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação que define uma função de forma implícita: . A missão é encontrar o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente mesmo quando a função não está isolada em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembra que quando a gente tem uma função de em termos de de forma implícita, a gente precisa aplicar a regra da cadeia. Então, derivando:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Simplificando as derivadas:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é isolar , que representa o coeficiente angular da reta tangente. Vamos resolver a equação:
Dividindo ambos os lados por :
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 4

Agora precisamos encontrar o valor de quando para poder substituir na expressão da derivada. Vamos voltar à equação original:
Substituindo :
Para que , precisamos que , então:

Resposta

Substituindo e na expressão da derivada:
Então, o coeficiente angular da reta tangente no ponto onde é .

Exercícios relacionados