Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação que define uma função de forma implícita:
. A missão é encontrar o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto onde
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente mesmo quando a função não está isolada em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembra que quando a gente tem uma função de
em termos de
de forma implícita, a gente precisa aplicar a regra da cadeia. Então, derivando:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Simplificando as derivadas:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é isolar
, que representa o coeficiente angular da reta tangente. Vamos resolver a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 4
Agora precisamos encontrar o valor de
quando
para poder substituir na expressão da derivada. Vamos voltar à equação original:
Substituindo
:
Para que
, precisamos que
, então:
Resposta
Substituindo
e
na expressão da derivada:
Então, o coeficiente angular da reta tangente no ponto onde
é
.
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i)
i)
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