Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida pela equação
no ponto onde
. Isso significa que precisamos descobrir a inclinação da reta que toca a curva exatamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação entre
e
quando eles estão ligados pela equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Substituindo na equação:
Para descobrir
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Como a equação está definida implicitamente, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
. Para a derivada de
, usamos a regra da cadeia:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
para encontrar a expressão da derivada:
Passo 5
Por fim, substituímos os valores de
e
na expressão da derivada:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Considere a área limitada pelo eixo dos
, pela parábola
e pela reta
. O valor de
para que essa área seja igual a 72 é:
(A) 3
(B) 4
© 5
(D) 6
(E) 7
(A) 3
(B) 4
© 5
(D) 6
(E) 7
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
definida implicitamente na equação
no ponto
.
Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante
, por
, com velocidade inicial de
. Determine:
b) a velocidade instantânea no instante .
b) a velocidade instantânea no instante
Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.