Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
x^2 = y^3 ; x = 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida pela equação no ponto onde . Isso significa que precisamos descobrir a inclinação da reta que toca a curva exatamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação entre e quando eles estão ligados pela equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Substituindo na equação:
Para descobrir , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Como a equação está definida implicitamente, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :
A derivada de em relação a é . Para a derivada de , usamos a regra da cadeia:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar para encontrar a expressão da derivada:

Passo 5

Por fim, substituímos os valores de e na expressão da derivada:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto é .

Exercícios relacionados

Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x^2 e pela reta x = b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
(A) 3
(B) 4
© 5
(D) 6
(E) 7
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) definida implicitamente na equação 2x^2 + y^3 + y - 6 = 3xy no ponto 1,2.
Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante t, por a(t) = t * 2^(-t), com velocidade inicial de 1/(2 ln 2) m/s. Determine:
b) a velocidade instantânea no instante t = 2 s.
Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
x^2 y^2 + 2 x y = 0 ; P = (2, -1)