Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está limitado por um parabolóide dado por e pelo plano . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e montar os limites de integração certos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide em termos de coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas:
Substituindo e na equação do parabolóide:
Então, a equação do parabolóide em coordenadas cilíndricas fica .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para , e .
  • : Como o sólido tem simetria completa em torno do eixo , varia de a .
  • : O valor de começa do eixo ( ) e vai até onde o parabolóide encontra o plano . No plano , , então:
Então, varia de a .
  • : Para cada , vai do plano ( ) até o parabolóide ( ).

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui, o fator vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas ( ).

Passo 5

Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral se simplifica para:

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a :
Calculando nos limites:
Então, a integral agora é:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano é unidades cúbicas.

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