Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está limitado por um parabolóide dado por e pelo plano . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e montar os limites de integração certos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide em termos de coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas:
Substituindo e na equação do parabolóide:
Então, a equação do parabolóide em coordenadas cilíndricas fica .
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para , e .
: Como o sólido tem simetria completa em torno do eixo , varia de a .
: O valor de começa do eixo () e vai até onde o parabolóide encontra o plano . No plano , , então:
Então, varia de a .
: Para cada , vai do plano () até o parabolóide ().
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui, o fator vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas ().
Passo 5
Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral se simplifica para:
Passo 6
Vamos integrar agora em relação a :
Calculando nos limites:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a :
Resposta
O volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano é unidades cúbicas.