Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por: x + y = 3 ; x = 4 - (y - 1)², em torno do eixo x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo . As curvas que delimitam essa região são e . Vamos usar conceitos de Cálculo Integral para resolver isso, especificamente o método dos discos ou anéis, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Para começar, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Expandindo a equação:
Simplificando:
Levamos tudo para um lado da equação:
Fatorando:
Então, ou .

Passo 4

Agora que temos os valores de onde as curvas se intersectam ( e ), vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo de . Vamos escolher um valor de entre 0 e 3, por exemplo, :
  • Usando :
  • Usando :
Então, para , está à direita de . Isso significa que a curva está à direita da curva nesse intervalo de .

Passo 6

Para calcular o volume quando giramos essa região ao redor do eixo , vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos), que considera a diferença entre os raios externos e internos em cada “anel”.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a curva externa).
  • é o raio interno (a distância do eixo de rotação até a curva interna).
  • e são os limites de integração (valores de ).

Passo 7

Identificando e :
  • A curva externa é , então .
  • A curva interna é , então .
Os limites de integração são de a .

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 9

Primeiro, vamos expandir as expressões dentro da integral:
Expandindo isso:
E para :

Passo 10

Subtraindo as duas expressões:
Então, a integral fica:

Passo 11

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral resolvida é:

Passo 12

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
Simplificando cada termo:
Para :
Para :

Passo 13

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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