Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo
. As curvas que delimitam essa região são
e
. Vamos usar conceitos de Cálculo Integral para resolver isso, especificamente o método dos discos ou anéis, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Para começar, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Expandindo a equação:
Simplificando:
Levamos tudo para um lado da equação:
Fatorando:
Então,
ou
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
onde as curvas se intersectam (
e
), vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação
:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo de
. Vamos escolher um valor de
entre 0 e 3, por exemplo,
:
- Usando
:
- Usando
:
Então, para
,
está à direita de
. Isso significa que a curva
está à direita da curva
nesse intervalo de
.
Passo 6
Para calcular o volume quando giramos essa região ao redor do eixo
, vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos), que considera a diferença entre os raios externos e internos em cada “anel”.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a curva externa). -
é o raio interno (a distância do eixo de rotação até a curva interna). -
e são os limites de integração (valores de ).
Passo 7
Identificando
e
:
- A curva externa é
, então . - A curva interna é
, então .
Os limites de integração são de
a
.
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 9
Primeiro, vamos expandir as expressões dentro da integral:
Expandindo isso:
E para
:
Passo 10
Subtraindo as duas expressões:
Então, a integral fica:
Passo 11
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral resolvida é:
Passo 12
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
Simplificando cada termo:
Para
:
Para
:
Passo 13
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.