Encontre os números críticos da função.
f(x)=x^2 e^-3 x

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar os números críticos da função . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente para encontrar onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos precisar usar a regra do produto e resolver uma equação para achar esses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f'(x) = 2x cdot e^-3x + x^2 cdot (-3 e^-3x) = e^-3x (2x - 3x^2) . A função é um produto de e , então usamos a regra do produto que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
  • (usando a regra da cadeia)
Então, a derivada de fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde 2x - 3x^2 = 0 ou onde ela não existe. Como x(2 - 3x) = 0 nunca é zero, podemos focar na parte dentro do parêntese:
x = 0 ou 2 - 3x = 0 Rightarrow x = 23
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Verificamos que a derivada existe para todos os valores de , então os números críticos são os valores que encontramos onde .

Resposta

Os números críticos da função são e .

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