r(t)=2 t^3 i-t^2 j
com a posição dada em metros e o tempo em segundos.
(a) Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a posição de um objeto em função do tempo:
r(t)=2 t^3 i - t^2 j
A gente precisa encontrar a expressão da velocidade em função do tempo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que na física nos ajuda a passar da posição para a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Isso significa que vamos derivar cada componente da posição em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos derivar cada componente da função vetorial separadamente.
Para a componente i:
ddt(2 t^3) = 6 t^2
Para a componente j:
ddt(- t^2) = -2 t

Passo 4

Agora, juntando as derivadas das componentes, temos a expressão da velocidade:
v(t) = 6 t^2 i - 2 t j

Resposta

A expressão geral da velocidade em função do tempo é:
v(t) = 6 t^2 i - 2 t j

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