Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
b)
b)
Passo 1
Beleza! A gente tem que verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais e funções potenciais em Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que faz um campo ser conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial para ele.
Passo 2
Primeiro, um campo vetorial é conservativo se ele for irrotacional. Isso significa que a rotacional do campo deve ser zero. Em termos de componentes, se
, então devemos ter:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Em seguida, calculamos
:
Passo 6
Substituindo esses resultados na rotacional:
Passo 7
Para o campo ser conservativo, a rotacional precisa ser zero para todo
e
. Observamos que
só é zero se
, o que não acontece para todos os
. Portanto, a rotacional não é zero em geral.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Calcule
d) e
é a curva formada pela interseção da superfície de equação
com o cilindro
.
d)
com
. Suponha que
uma única vez eque
varre todo o domínio
dos parâmetros. Assim, a área de
é dada por
onde
e
. Calcule a área de um cilindro, incluindo a base e o topo, de raio 2 e altura 5 .
Seja o campo
a) Determine para que
seja conservativo;
a) Determine
Calcule as integrais de linha
c) onde
e
é a curva parametrizada por
;
c)