Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
b) F(x, y) = (e^x sen(y), e^x sen(y))

Passo 1

Beleza! A gente tem que verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais e funções potenciais em Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que faz um campo ser conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial para ele.

Passo 2

Primeiro, um campo vetorial é conservativo se ele for irrotacional. Isso significa que a rotacional do campo deve ser zero. Em termos de componentes, se , então devemos ter:

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Em seguida, calculamos :

Passo 6

Substituindo esses resultados na rotacional:

Passo 7

Para o campo ser conservativo, a rotacional precisa ser zero para todo e . Observamos que só é zero se , o que não acontece para todos os . Portanto, a rotacional não é zero em geral.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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