O raio
de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por minuto. Calcule a taxa de variação da área do círculo quando:
centímetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que o raio
de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por minuto. A gente precisa descobrir a que ritmo a área desse círculo está mudando quando
centímetros. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas relacionadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Aqui,
representa a área e
é o raio do círculo.
Passo 3
Agora, como o raio
está mudando com o tempo, a área
também vai mudar ao longo do tempo. Para encontrar como a área está mudando, precisamos calcular a derivada da área em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 4
Vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo:
Aqui usamos a regra da cadeia, onde derivamos
em relação a
e depois multiplicamos pela derivada de
em relação ao tempo
.
Passo 5
Sabemos que a taxa de variação do raio
é de 3 centímetros por minuto. E queremos saber a taxa de variação da área quando
centímetros. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 6
Agora, é só calcular:
Resposta
A taxa de variação da área do círculo quando
centímetros é
centímetros quadrados por minuto.