O raio r de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por minuto. Calcule a taxa de variação da área do círculo quando: r = 24 centímetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que o raio de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por minuto. A gente precisa descobrir a que ritmo a área desse círculo está mudando quando centímetros. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas relacionadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Aqui, representa a área e é o raio do círculo.

Passo 3

Agora, como o raio está mudando com o tempo, a área também vai mudar ao longo do tempo. Para encontrar como a área está mudando, precisamos calcular a derivada da área em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 4

Vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo:
Aqui usamos a regra da cadeia, onde derivamos em relação a e depois multiplicamos pela derivada de em relação ao tempo .

Passo 5

Sabemos que a taxa de variação do raio é de 3 centímetros por minuto. E queremos saber a taxa de variação da área quando centímetros. Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 6

Agora, é só calcular:

Resposta

A taxa de variação da área do círculo quando centímetros é centímetros quadrados por minuto.

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