O raio r de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por minuto. Calcule a taxa de variação da área do círculo quando: r = 6 centímetro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de cálculo relacionado ao círculo! A questão diz que o raio de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por minuto. Precisamos descobrir a que velocidade a área desse círculo está mudando quando o raio é de 6 centímetros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área de um círculo. A área de um círculo é dada por:
Aqui, é uma constante aproximadamente igual a 3,14, e é o raio do círculo.

Passo 3

Queremos achar a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, é a taxa de variação do raio em relação ao tempo.

Passo 4

Sabemos que centímetros por minuto e que centímetros no momento que queremos calcular. Substituindo esses valores na equação:

Passo 5

Agora, vamos realizar a multiplicação:
Então, a taxa de variação da área é centímetros quadrados por minuto.

Resposta

A taxa de variação da área do círculo quando cm é cm²/minuto.

Exercícios relacionados