O raio
de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por minuto. Calcule a taxa de variação da área do círculo quando:
centímetro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de cálculo relacionado ao círculo! A questão diz que o raio
de um círculo está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por minuto. Precisamos descobrir a que velocidade a área desse círculo está mudando quando o raio é de 6 centímetros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da área de um círculo. A área
de um círculo é dada por:
Aqui,
é uma constante aproximadamente igual a 3,14, e
é o raio do círculo.
Passo 3
Queremos achar a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Aplicando a regra da cadeia:
Aqui,
é a taxa de variação do raio em relação ao tempo.
Passo 4
Sabemos que
centímetros por minuto e que
centímetros no momento que queremos calcular. Substituindo esses valores na equação:
Passo 5
Agora, vamos realizar a multiplicação:
Então, a taxa de variação da área é
centímetros quadrados por minuto.
Resposta
A taxa de variação da área do círculo quando
cm é
cm²/minuto.