Um raio de luz entra na atmosfera de um planeta e desce verticalmente para a superfície uma distância
abaixo. O índice de refração onde a luz entra na atmosfera é 1,00, e aumenta linearmente com a distância para ter o valor
na superfície do planeta.
(a) Por qual intervalo de tempo a luz atravessa esse caminho?
(b) Por qual fração é o intervalo de tempo maior do que o requerido na ausência de uma atmosfera?
(a) Por qual intervalo de tempo a luz atravessa esse caminho?
(b) Por qual fração é o intervalo de tempo maior do que o requerido na ausência de uma atmosfera?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um raio de luz que entra na atmosfera de um planeta e desce direto na vertical até a superfície, percorrendo uma distância
. Quando a luz entra na atmosfera, o índice de refração é 1,00, mas esse índice aumenta de forma linear conforme a luz se aproxima da superfície, chegando a um valor
na superfície do planeta. A matéria que estamos lidando aqui é óptica, especificamente sobre como a luz se comporta ao passar por meios com índices de refração variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como o índice de refração influencia a velocidade da luz e como calcular o tempo que a luz leva para percorrer esse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: “Por qual intervalo de tempo a luz atravessa esse caminho?” Para encontrar o tempo que a luz leva para descer a distância
com um índice de refração que varia linearmente, precisamos considerar que a velocidade da luz muda conforme o índice de refração muda.
Passo 3
Lembra que a velocidade da luz em um meio é dada por
, onde
é a velocidade da luz no vácuo (aproximadamente
m/s) e
é o índice de refração do meio. Como o índice de refração está aumentando linearmente com a distância, podemos expressar
como uma função da distância
medida a partir da entrada na atmosfera:
Passo 4
Para encontrar o tempo total
que a luz leva para percorrer a distância
, precisamos integrar o inverso da velocidade em relação à distância:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separe os termos dentro da integral:
Calculando cada parte:
Passo 6
Agora, somando os dois resultados:
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Resposta
O intervalo de tempo que a luz leva para atravessar o caminho é:
Exercícios relacionados
As fibras óticas são construídas com um núcleo cilíndrico revestido por um material protetor. Os materiais mais comumente utilizados são sílica pura (
) para o revestimento e sílica banhada com germânio
para o núcleo.
(a) Qual é o ângulo crítico para a luz viajando no núcleo e refletindo na interface com o material de revestimento?
(b) A abertura numérica (NA) é definida como o ângulo de incidência na extremidade plana do cabo para o qual a luz incide na interface núcleo-revestimento no ângulo
(Figura 5). Mostre que
.
© Qual é o valor de para
e
?
(a) Qual é o ângulo crítico
(b) A abertura numérica (NA) é definida como o ângulo de incidência
© Qual é o valor de
Considere um prisma de ângulo de abertura
e um raio incidente sobre uma face com ângulo de incidência
, seja
o índice de refração do prisma. Chama-se desvio
o ângulo entre as direções do raio emergente e do raio incidente (Figura 4).
(a) Encontre uma expressão para em função de
e
.
(b) Mostre que é mínimo quando o ângulo de emergência
é igual a
. Mostre que quando isso acontece, vale a relação
.
(a) Encontre uma expressão para
(b) Mostre que
Visto que somente variações de energia potencial são relevantes, um estudante decide fazer a enegia potencial elástica de uma mola igual a zero quando a mola está esticada a uma distância
. O estudante decide, portanto, fazer
. Isto está correto ? Explique.
Um atleta olímpico oscila sobre um trampolim, atingindo pontos ligeiramente mais elevados para cada oscilação. Explique como ele faz aumentar a energia mecânica total do sistema.