Considere um prisma de ângulo de abertura
e um raio incidente sobre uma face com ângulo de incidência
, seja
o índice de refração do prisma. Chama-se desvio
o ângulo entre as direções do raio emergente e do raio incidente (Figura 4).
(a) Encontre uma expressão para
em função de
e
.
(b) Mostre que
é mínimo quando o ângulo de emergência
é igual a
. Mostre que quando isso acontece, vale a relação
.
(a) Encontre uma expressão para
(b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um prisma com ângulo de abertura
e um raio de luz chegando com um ângulo de incidência
. O índice de refração do prisma é
. Queremos descobrir como o desvio
depende de
,
e
. Vamos usar um pouco de óptica geométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Snell, que nos diz como a luz se refrata ao passar de um meio para outro. A fórmula é:
Aqui,
e
são os índices de refração dos dois meios, e
e
são os ângulos de incidência e refração, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, a luz está indo do ar (índice de refração aproximado
) para o prisma (
). Aplicando a Lei de Snell na primeira face do prisma:
Onde
é o ângulo de refração dentro do prisma.
Passo 4
Agora, dentro do prisma, a luz viaja até a segunda face, onde vai sair de volta para o ar. O ângulo interno na base do prisma é
, então a trajetória da luz dentro do prisma forma um triângulo com esse ângulo.
Passo 5
Vamos relacionar os ângulos internos. A soma dos ângulos de um triângulo é
, então:
Como o prisma é simétrico, os ângulos de incidência e emergência são iguais, ou seja,
.
Passo 6
Então, podemos simplificar:
Passo 7
Agora, aplicamos a Lei de Snell novamente na segunda face, onde a luz sai do prisma:
Mas sabemos que
, então:
O que podemos simplificar para encontrar a relação final.
Passo 8
Finalmente, o desvio
é a diferença entre a direção do raio emergente e o raio incidente. A relação encontrada nos leva à expressão:
Passo 9
Agora, vamos mostrar que o desvio
é mínimo quando o ângulo de emergência
é igual ao ângulo de incidência
. E quando isso acontece, provamos que:
Passo 10
Quando
, a condição de mínima desvio é alcançada. Nesse caso, a luz percorre o caminho simétrico dentro do prisma, tornando os ângulos de incidência e emergência iguais.
Passo 11
Usando a expressão do desvio:
Resolvendo para
:
Passo 12
Aplicamos a Lei de Snell novamente:
E sabemos que
, então:
Passo 13
Isolando
:
Resposta
Quando o desvio
é mínimo, temos: