Considere um prisma de ângulo de abertura phi e um raio incidente sobre uma face com ângulo de incidência theta, seja n o índice de refração do prisma. Chama-se desvio psi o ângulo entre as direções do raio emergente e do raio incidente (Figura 4).
(a) Encontre uma expressão para psi em função de n, theta e phi.
(b) Mostre que psi é mínimo quando o ângulo de emergência theta^prime é igual a theta. Mostre que quando isso acontece, vale a relação n=sen[12(psi+phi)]sen(phi2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um prisma com ângulo de abertura phi e um raio de luz chegando com um ângulo de incidência theta. O índice de refração do prisma é n. Queremos descobrir como o desvio psi depende de n, theta e phi. Vamos usar um pouco de óptica geométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Snell, que nos diz como a luz se refrata ao passar de um meio para outro. A fórmula é:
n1 sin(theta1) = n2 sin(theta2)
Aqui, n1 e n2 são os índices de refração dos dois meios, e theta1 e theta2 são os ângulos de incidência e refração, respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, a luz está indo do ar (índice de refração aproximado n1 = 1) para o prisma ( n2 = n). Aplicando a Lei de Snell na primeira face do prisma:
sin(theta) = n sin(r)
Onde r é o ângulo de refração dentro do prisma.

Passo 4

Agora, dentro do prisma, a luz viaja até a segunda face, onde vai sair de volta para o ar. O ângulo interno na base do prisma é phi, então a trajetória da luz dentro do prisma forma um triângulo com esse ângulo.

Passo 5

Vamos relacionar os ângulos internos. A soma dos ângulos de um triângulo é 180^circ, então:
r + r' + phi = 180^circ
Como o prisma é simétrico, os ângulos de incidência e emergência são iguais, ou seja, r = r'.

Passo 6

Então, podemos simplificar:
2r + phi = 180^circ 2r = 180^circ - phi r = 90^circ - phi2

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Snell novamente na segunda face, onde a luz sai do prisma:
n sin(r) = 1 sin(r')
Mas sabemos que r = r', então:
n sin(r) = sin(r)
O que podemos simplificar para encontrar a relação final.

Passo 8

Finalmente, o desvio psi é a diferença entre a direção do raio emergente e o raio incidente. A relação encontrada nos leva à expressão:
psi = theta + theta' - phi

Passo 9

Agora, vamos mostrar que o desvio psi é mínimo quando o ângulo de emergência theta' é igual ao ângulo de incidência theta. E quando isso acontece, provamos que:
n = sin[12(psi + phi)]sin(phi2)

Passo 10

Quando theta' = theta, a condição de mínima desvio é alcançada. Nesse caso, a luz percorre o caminho simétrico dentro do prisma, tornando os ângulos de incidência e emergência iguais.

Passo 11

Usando a expressão do desvio:
psi = theta + theta - phi = 2theta - phi
Resolvendo para theta:
theta = psi + phi2

Passo 12

Aplicamos a Lei de Snell novamente:
sin(theta) = n sin(r)
E sabemos que r = 90^circ - phi2, então:
sin(psi + phi2) = n sin(phi2)

Passo 13

Isolando n:
n = sin(psi + phi2)sin(phi2)

Resposta

Quando o desvio psi é mínimo, temos:
n = sin[12(psi + phi)]sin(phi2)

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