As raízes da equação 3x² - 15x + 12 = 0 são as medidas dos lados de um retângulo. Descubra mentalmente as raízes e calcule a área e o perímetro desse retângulo. ​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática, que é do tipo 3x^2 - 15x + 12 = 0. O problema pede para encontrar as raízes dessa equação, que vão representar os lados de um retângulo. Depois, a gente vai calcular a área e o perímetro desse retângulo. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações quadráticas e aplicar isso na geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação quadrática 3x^2 - 15x + 12 = 0. Uma maneira fácil de resolver isso sem muita complicação é tentar fatorar a equação. Mas pra isso, precisamos que os coeficientes sejam menores. Então, vamos dividir toda a equação por 3 para simplificar:
x^2 - 5x + 4 = 0

Passo 3

Agora, temos uma equação mais simples: x^2 - 5x + 4 = 0. Vamos achar dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -5. Pensando bem, os números são -1 e -4, porque:
-1 times -4 = 4
-1 + (-4) = -5

Passo 4

Com esses números, podemos fatorar a equação assim:
(x - 1)(x - 4) = 0
Isso significa que cada fator pode ser igual a zero para que o produto seja zero. Então:
x - 1 = 0 ou x - 4 = 0

Passo 5

Resolvendo cada uma dessas equações simples:
x = 1 ou x = 4
Então, as raízes da equação são 1 e 4. Esses são os lados do retângulo.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área do retângulo. A área ( A) de um retângulo é dada pela multiplicação dos seus lados:
A = lado1 times lado2 = 1 times 4 = 4

Passo 7

Em seguida, vamos calcular o perímetro ( P) do retângulo. O perímetro é a soma de todos os lados, ou seja:
P = 2 times (lado1 + lado2) = 2 times (1 + 4) = 2 times 5 = 10

Resposta

As raízes da equação são 1 e 4. O retângulo tem uma área de 4 unidades quadradas e um perímetro de 10 unidades.

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