As raízes da equação 3x² - 15x + 12 = 0 são as medidas dos lados de um retângulo. Descubra mentalmente as raízes e calcule a área e o perímetro desse retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática, que é do tipo
. O problema pede para encontrar as raízes dessa equação, que vão representar os lados de um retângulo. Depois, a gente vai calcular a área e o perímetro desse retângulo. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações quadráticas e aplicar isso na geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação quadrática
. Uma maneira fácil de resolver isso sem muita complicação é tentar fatorar a equação. Mas pra isso, precisamos que os coeficientes sejam menores. Então, vamos dividir toda a equação por 3 para simplificar:
Passo 3
Agora, temos uma equação mais simples:
. Vamos achar dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -5. Pensando bem, os números são -1 e -4, porque:
Passo 4
Com esses números, podemos fatorar a equação assim:
Isso significa que cada fator pode ser igual a zero para que o produto seja zero. Então:
Passo 5
Resolvendo cada uma dessas equações simples:
Então, as raízes da equação são 1 e 4. Esses são os lados do retângulo.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área do retângulo. A área (
) de um retângulo é dada pela multiplicação dos seus lados:
Passo 7
Em seguida, vamos calcular o perímetro (
) do retângulo. O perímetro é a soma de todos os lados, ou seja:
Resposta
As raízes da equação são 1 e 4. O retângulo tem uma área de 4 unidades quadradas e um perímetro de 10 unidades.