Em cada caso, determine se o conjunto de vetores é linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
(a)
(b)
(l1 0 1 2),(l2 1 3 4),(c0 1 -1 1)
©
(l1 0 0 1),(l0 1 1 0),(l1 1 1 1),(l2 1 1 2)
(d)
(l1 0 0 0),(l1 2 0 0),(l1 2 3 0),(l1 2 3 4)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente verificar, em cada conjunto de vetores dado, se eles são linearmente independentes. Se não forem, precisamos encontrar uma relação linear entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a)
Temos os vetores:
Verificando a Independência Linear
Para ver se os vetores são linearmente independentes, vamos ver se existe uma combinação dos vetores que dê o vetor zero somente quando todos os coeficientes forem zero. Ou seja, queremos ver se:
tem solução apenas quando
c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 0 = 0 c1 cdot 2 + c2 cdot 4 + c3 cdot 1 = 0 c1 cdot 3 + c2 cdot 6 + c3 cdot 0 = 0 .
Montando o Sistema de Equações
Isso resulta no sistema:
Resolvendo o Sistema
Observamos que o segundo vetor é igual a 2 vezes o primeiro vetor (
-2v1 + 1v2 + 0v3 = 0 ). Isso significa que
e
são linearmente dependentes. Portanto, já sabemos que o conjunto não é linearmente independente.
Encontrando a Relação Linear
Podemos expressar
como 2 vezes
:
Portanto, a relação linear é:
Passo 3
Parte (b)
Temos os vetores:
Verificando a Independência Linear
Vamos montar a combinação linear:
Que resulta no sistema:
Resolvendo o Sistema
Vamos resolver passo a passo:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Substituindo
e-2c2 + 3c2 - (-c2) = 0 implies c2 = 0 na terceira equação:
- Portanto,
e
Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Parte ©
Temos os vetores:
Verificando a Independência Linear
Vamos montar a combinação linear:
Que resulta no sistema:
Analisando o Sistema
Observamos que as terceira e quarta equações são idênticas às primeiras e segundas. Isso indica que podemos ter soluções não triviais.
Encontrando a Relação Linear
Vamos resolver:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- A terceira equação é igual à segunda.
- A quarta equação é igual à primeira.
Podemos atribuir um valor livre, por exemplo,
c1 = -c3 - 2t .
Então:
Escolhendo
-2v1 - v2 + 0v3 + 1v4 = 0 e
:
Portanto, a relação linear é:
Passo 5
Parte (d)
Temos os vetores:
Verificando a Independência Linear
Vamos montar a combinação linear:
Que resulta no sistema:
Resolvendo o Sistema
Vamos resolver passo a passo:
- Da quarta equação:
- Da terceira equação:
- Da segunda equação:
- Da primeira equação:
Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
(a) O conjunto de vetores é linearmente dependente, e uma relação linear é
.
(b) O conjunto de vetores é linearmente independente.
© O conjunto de vetores é linearmente dependente, com uma relação linear
.
(d) O conjunto de vetores é linearmente independente.