Em cada caso, determine se o conjunto de vetores é linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
(a) (l1 2 3),(l2 4 6),(l0 1 0)
(b) (l1 0 1 2),(l2 1 3 4),(c0 1 -1 1)
© (l1 0 0 1),(l0 1 1 0),(l1 1 1 1),(l2 1 1 2)
(d) (l1 0 0 0),(l1 2 0 0),(l1 2 3 0),(l1 2 3 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente verificar, em cada conjunto de vetores dado, se eles são linearmente independentes. Se não forem, precisamos encontrar uma relação linear entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a)

Temos os vetores:
v1 = 1 2 3, v2 = 2 4 6, v3 = 0 1 0

Verificando a Independência Linear

Para ver se os vetores são linearmente independentes, vamos ver se existe uma combinação dos vetores que dê o vetor zero somente quando todos os coeficientes forem zero. Ou seja, queremos ver se:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0
tem solução apenas quando c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 0 = 0 c1 cdot 2 + c2 cdot 4 + c3 cdot 1 = 0 c1 cdot 3 + c2 cdot 6 + c3 cdot 0 = 0 .

Montando o Sistema de Equações

Isso resulta no sistema:
v2 - 2v1 = 0

Resolvendo o Sistema

Observamos que o segundo vetor é igual a 2 vezes o primeiro vetor ( -2v1 + 1v2 + 0v3 = 0 ). Isso significa que e são linearmente dependentes. Portanto, já sabemos que o conjunto não é linearmente independente.

Encontrando a Relação Linear

Podemos expressar como 2 vezes :
Portanto, a relação linear é:

Passo 3

Parte (b)

Temos os vetores:
v1 = 1 0 1 2, v2 = 2 1 3 4, v3 = 0 1 -1 1

Verificando a Independência Linear

Vamos montar a combinação linear:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0
Que resulta no sistema:
c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 0 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot 3 + c3 cdot (-1) = 0 c1 cdot 2 + c2 cdot 4 + c3 cdot 1 = 0

Resolvendo o Sistema

Vamos resolver passo a passo:
  1. Da primeira equação:
c1 + 2c2 = 0 implies c1 = -2c2
  1. Da segunda equação:
c2 + c3 = 0 implies c3 = -c2
  1. Substituindo -2c2 + 3c2 - (-c2) = 0 implies c2 = 0 e na terceira equação:
  1. Portanto, e
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Parte ©

Temos os vetores:
v1 = 1 0 0 1, v2 = 0 1 1 0, v3 = 1 1 1 1, v4 = 2 1 1 2

Verificando a Independência Linear

Vamos montar a combinação linear:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 = 0
Que resulta no sistema:
c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 + c4 cdot 2 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 + c4 cdot 1 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 + c4 cdot 1 = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 + c4 cdot 2 = 0

Analisando o Sistema

Observamos que as terceira e quarta equações são idênticas às primeiras e segundas. Isso indica que podemos ter soluções não triviais.

Encontrando a Relação Linear

Vamos resolver:
  1. Da primeira equação:
c1 + c3 + 2c4 = 0 (1)
  1. Da segunda equação:
c2 + c3 + c4 = 0 (2)
  1. A terceira equação é igual à segunda.
  2. A quarta equação é igual à primeira.
Podemos atribuir um valor livre, por exemplo, c1 = -c3 - 2t .
Então:
c2 = -c3 - t
c1 = -2, c2 = -1, c3 = 0, c4 = 1
Escolhendo -2v1 - v2 + 0v3 + 1v4 = 0 e :
Portanto, a relação linear é:

Passo 5

Parte (d)

Temos os vetores:
v1 = 1 0 0 0, v2 = 1 2 0 0, v3 = 1 2 3 0, v4 = 1 2 3 4

Verificando a Independência Linear

Vamos montar a combinação linear:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 = 0
Que resulta no sistema:
c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 + c4 cdot 1 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 2 + c3 cdot 2 + c4 cdot 2 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 0 + c3 cdot 3 + c4 cdot 3 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 0 + c3 cdot 0 + c4 cdot 4 = 0

Resolvendo o Sistema

Vamos resolver passo a passo:
  1. Da quarta equação:
4c4 = 0 implies c4 = 0
  1. Da terceira equação:
3c3 + 3c4 = 0 implies 3c3 = 0 implies c3 = 0
  1. Da segunda equação:
2c2 + 2c3 + 2c4 = 0 implies 2c2 = 0 implies c2 = 0
  1. Da primeira equação:
c1 + c2 + c3 + c4 = 0 implies c1 = 0
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

(a) O conjunto de vetores é linearmente dependente, e uma relação linear é .
(b) O conjunto de vetores é linearmente independente.
© O conjunto de vetores é linearmente dependente, com uma relação linear .
(d) O conjunto de vetores é linearmente independente.

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