Resolver os problemas por meio de equações diferenciais.
Determinar a curva que passa no ponto 1,1 cuja inclinação da reta tangente em todo ponto é proporcional ao quadrado da ordenada do mesmo ponto. R: k(x-1)y - y + 1 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! A gente precisa encontrar a curva que passa pelo ponto 1,1 e que, em cada ponto dessa curva, a inclinação da reta tangente é proporcional ao quadrado da ordenada (ou seja, ao valor de y no ponto). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre equações diferenciais, que relacionam uma função com suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que o problema está nos dizendo em uma equação matemática. A “inclinação da reta tangente” em um ponto de uma curva é dada pela derivada da função naquele ponto, ou seja, . O enunciado diz que essa inclinação é proporcional ao quadrado da ordenada y, então podemos escrever:
Aqui, k é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Temos:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis y e x dos diferentes lados da equação. Vamos reorganizar os termos para isolar de um lado e do outro:

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a relação entre y e x:
Resolvendo as integrais:
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar usando o ponto dado 1,1.

Passo 5

Vamos agora usar o ponto 1,1 para encontrar o valor de C. Substituindo x = 1 e na equação que encontramos:
Isso significa que:

Passo 6

Agora, substituímos o valor de C de volta na equação geral:
Vamos simplificar:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 7

Para deixar a equação mais organizada, vamos multiplicar ambos os lados por y:
Distribuindo o y:
Rearranjando os termos:
Podemos fatorar y nos termos que têm ele:

Resposta

A curva que passa pelo ponto 1,1 e cuja inclinação da reta tangente em todo ponto é proporcional ao quadrado da ordenada é dada por:

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