Resolver os problemas por meio de equações diferenciais.
Determinar a curva que passa no ponto
cuja inclinação da reta tangente em todo ponto é proporcional ao quadrado da ordenada do mesmo ponto. R:
.
Determinar a curva que passa no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! A gente precisa encontrar a curva que passa pelo ponto
e que, em cada ponto dessa curva, a inclinação da reta tangente é proporcional ao quadrado da ordenada (ou seja, ao valor de
no ponto). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre equações diferenciais, que relacionam uma função com suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que o problema está nos dizendo em uma equação matemática. A “inclinação da reta tangente” em um ponto de uma curva é dada pela derivada da função naquele ponto, ou seja,
. O enunciado diz que essa inclinação é proporcional ao quadrado da ordenada
, então podemos escrever:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Temos:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis
e
dos diferentes lados da equação. Vamos reorganizar os termos para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a relação entre
e
:
Resolvendo as integrais:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando o ponto dado
.
Passo 5
Vamos agora usar o ponto
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação que encontramos:
Isso significa que:
Passo 6
Agora, substituímos o valor de
de volta na equação geral:
Vamos simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
para facilitar:
Passo 7
Para deixar a equação mais organizada, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Rearranjando os termos:
Podemos fatorar
nos termos que têm ele:
Resposta
A curva que passa pelo ponto
e cuja inclinação da reta tangente em todo ponto é proporcional ao quadrado da ordenada é dada por:
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