Calcule as seguintes integrais: integral x cotg^2 2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de em relação a . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função trigonométrica cot^2(u) = csc^2(u) - 1 . Sabemos que:
cot^2(2x^2) = csc^2(2x^2) - 1
Então, substituindo , temos:
Isso vai facilitar a integração depois.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 2x^2
Então, a derivada de dudx = 4x Rightarrow dx = du4x em relação a x cdot dx = du4 é:
Mas na nossa integral temos um multiplicando, então:
Isso simplifica nossa integral para termos em termos de .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral x cdot cot^2(2x^2) dx = integral ( csc^2(u) - 1 ) cdot du4
Podemos separar essa integral em duas partes:
14 integral csc^2(u) du - 14 integral du

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte. Sabemos que:
integral csc^2(u) du = -cot(u) + C
E:
integral du = u + C
Então, substituindo de volta:
14 (-cot(u)) - 14 u + C

Passo 6

Por fim, voltando à variável original -14 cot(2x^2) - 14 cdot 2x^2 + C = -14 cot(2x^2) - 12x^2 + C (já que ):

Resposta

integral x cot^2(2x^2) dx = -14 cot(2x^2) - 12x^2 + C

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