Uma rota diária de entrega para a loja de pães e bolos Hostess inclui oito mercearias e quatro lojas de conveniência. O tempo médio histórico para completar as entregas em todas as lojas e retornar ao centro de distribuição é 6,5 horas. Um novo motorista foi designado para essa rota e obteve-se uma amostra aleatória dos seus tempos para completar a rota (em horas). Os dados estão na tabela que segue. Suponha que a população subjacente seja normal.
6,61 6,25 6,40 6,57 6,35 5,95 6,53 6,29
Há alguma evidência que sugira que o novo motorista foi capaz de diminuir o tempo para completar a rota? Use llllllll hline 6,61 & 6,25 & 6,40 & 6,57 & 6,35 & 5,95 & 6,53 & 6,29 hline .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma rota de entregas que, historicamente, leva em média 6,5 horas para ser completada. Um novo motorista começou a fazer essa rota, e coletamos uma amostra dos tempos que ele levou para completar a rota nas últimas 8 vezes. Queremos verificar se há evidências de que o novo motorista conseguiu diminuir o tempo de entrega. Para isso, vamos usar um teste de hipótese para a média, especificamente o teste t, já que temos uma amostra pequena (menor que 30) e a população é assumida como normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Somamos todos os tempos registrados e dividimos pelo número de observações.
Dados da amostra:
6,61; 6,25; 6,40; 6,57; 6,35; 5,95; 6,53; 6,29
Calculando a média ( x):
x = 6,61 + 6,25 + 6,40 + 6,57 + 6,35 + 5,95 + 6,53 + 6,298
x = 50,958
x = 6,36875 horas
Arredondando, x approx 6,37 horas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra ( s). Primeiro, calculamos a diferença de cada valor para a média, elevamos ao quadrado, somamos todos esses valores e dividimos pelo número de observações menos um (graus de liberdade).
s = raizsum (xi - x)^2n - 1
Calculando cada termo:
(6,61 - 6,37)^2 &= 0,24^2 = 0,0576 (6,25 - 6,37)^2 &= (-0,12)^2 = 0,0144 (6,40 - 6,37)^2 &= 0,03^2 = 0,0009 (6,57 - 6,37)^2 &= 0,20^2 = 0,0400 (6,35 - 6,37)^2 &= (-0,02)^2 = 0,0004 (5,95 - 6,37)^2 &= (-0,42)^2 = 0,1764 (6,53 - 6,37)^2 &= 0,16^2 = 0,0256 (6,29 - 6,37)^2 &= (-0,08)^2 = 0,0064
Somando todos os valores:
0,0576 + 0,0144 + 0,0009 + 0,0400 + 0,0004 + 0,1764 + 0,0256 + 0,0064 = 0,3217
Então,
s = raiz0,32177 approx raiz0,04596 approx 0,2143 horas

Passo 4

Vamos calcular o Erro Padrão da Média ( SE), que nos ajuda a entender a variabilidade da média amostral.
SE = sraizn = 0,2143raiz8 approx 0,21432,8284 approx 0,0757 horas

Passo 5

Agora, calculamos o t estatístico, que nos dirá quantos erros padrão a média amostral está distante da média hipotética.
t = x - mu0SE = 6,37 - 6,50,0757 approx -0,130,0757 approx -1,716

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico t para o nível de significância alpha = 0,01, teste unilateral (à esquerda) e com df = n - 1 = 7 graus de liberdade.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
tcrítico approx -2,998í

Passo 7

Comparando o t estatístico com o t crítico:
-1,716 > -2,998
Como o t estatístico não é menor que o t crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para concluir que o novo motorista diminuiu o tempo médio para completar a rota de entregas ao nível de significância de 1%.

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