Um recipiente de massa desprezível está preso a duas molas idênticas de rigidez. Se uma caixa de 10 kg for deixado cair de uma altura de 0,5 m acima do prato, determine o deslocamento vertical máximo d. Inicialmente, cada mola tem uma tensão de 50 N. Dica: considere a tensão como a força elástica da mola.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um recipiente sem massa ligado a duas molas iguais com uma certa rigidez. Uma caixa de 10 kg é deixada cair de uma altura de 0,5 metros acima do prato das molas. Queremos descobrir qual será o deslocamento máximo vertical das molas quando a caixa parar de cair. Além disso, cada mola já está esticada com uma tensão inicial de 50 N. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia potencial elástica das molas.

Passo 2

Vamos começar calculando a energia potencial gravitacional que a caixa possui quando é deixada cair. A energia potencial gravitacional ( Ep = m cdot g cdot h ) é dada pela fórmula:
Ep = 10 cdot 9,8 cdot 0,5 = 49 , J , (Jou<=)
Onde:
  • (massa da caixa)
  • (aceleração da gravidade)
  • (altura da queda)
Substituindo os valores:

Passo 3

Essa energia potencial gravitacional será convertida em energia potencial elástica quando a caixa parar de cair e as molas alcançarem o deslocamento máximo Ee = 12 k x^2 . A energia potencial elástica ( Ee = 2 times 12 k d^2 = k d^2 ) nas molas é dada por:
Onde:
  • é a constante elástica da mola
  • é o deslocamento da mola
Como temos duas molas agindo em conjunto, a energia total será:

Passo 4

Sabemos que a tensão inicial em cada mola é de 50 N, que é a força elástica ( F = k x ) da mola antes da caixa ser deixada cair. A força elástica de uma mola é dada por:
k = Fx
Aqui, é a deformação inicial da mola devido à tensão. Podemos rearranjar a fórmula para encontrar :
No entanto, não temos , mas podemos relacionar a energia inicial na mola com a energia da caixa.

Passo 5

Considerando que inicialmente as molas já estão esticadas com uma energia elástica devido à tensão de 50 N, a energia inicial nas molas é:
Eeinicial = 2 times 12 cdot k cdot x^2 = k x^2
Mas como a energia adicionada pela queda da caixa é 49 J, a energia total no ponto de deslocamento máximo será:
Etotal = Eeinicial + Ep = k x^2 + 49
No ponto de máxima extensão, toda essa energia é convertida em energia potencial elástica das molas:
k d^2 = k x^2 + 49

Passo 6

Agora, precisamos expressar F = k x Rightarrow x = Fk em termos de k d^2 = k ( Fk )^2 + 49 . Da equação da tensão inicial:
k d^2 = F^2k + 49
Substituindo na equação anterior:
k^2 d^2 = F^2 + 49k
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, queremos isolar d^2 = F^2 + 49kk^2 = F^2k^2 + 49k :
d = raiz F^2k^2 + 49k
d = raiz x^2 + 49k
Mas sabemos que , então:

Passo 8

Para encontrar F = k x Rightarrow k = Fx , precisamos determinar P = m cdot g = 10 cdot 9,8 = 98 , N . Vamos voltar à equação da tensão inicial:
2F = P Rightarrow 2 times 50 = 100 , N
Mas sem , precisamos de outra abordagem. Vamos considerar que, inicialmente, as molas estão equilibradas com a tensão de 50 N. Portanto, a força total das duas molas equilibra o peso da caixa no ponto de equilíbrio.
O peso da caixa é:
Como são duas molas, cada uma deve suportar metade do peso:
Há um pequeno desvio aqui, vamos ajustar para que as forças se equilibrem corretamente.

Passo 9

Corrigindo, se cada mola tem uma tensão de 50 N inicialmente, o total é 100 N. Isso significa que o peso da caixa é 98 N, que está praticamente equilibrado. Portanto, podemos considerar que a deformação inicial F = k x Rightarrow 50 = k x Rightarrow x = 50k está relacionada à tensão inicial:

Passo 10

Voltando à equação para d = raiz ( 50k )^2 + 49k = raiz 2500k^2 + 49k :
Para simplificar, precisamos de mais informações ou fazer uma suposição. Vamos considerar que a deformação adicional causada pela energia da queda é tal que a deformação total .

Passo 11

A energia da queda da caixa (49 J) é igual ao trabalho feito pelas molas na deformação adicional 49 = 2 times 12 k (De:
(De
Portanto:
d = x + De
Então, o deslocamento total é:

Resposta

O deslocamento vertical máximo das molas é dado por:
d = 50k + raiz 49k

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