Duas esferas, e , têm massas iguais e estão eletrostaticamente carregadas, de modo que a força repulsiva que atua entre elas tem uma intensidade de 20 mN e está direcionada ao longo da linha . Determine o ângulo , a tração nas cordas e e a massa de cada esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas esferas, A e B, com as mesmas massas e cargas elétricas. A força repulsiva entre elas é de 20 mN, e ela age ao longo da linha que liga as duas esferas, a linha AB. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de eletrostática (forças entre cargas), equilíbrio de forças e trigonometria básica. Para resolver, vamos precisar entender como as forças se equilibram nesses sistemas e aplicar algumas fórmulas matemáticas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema. As duas esferas estão suspensas por cordas, formando um triângulo com a linha AB. A força repulsiva de 20 mN empurra as esferas para longe uma da outra. Como as cordas estão em equilíbrio, as forças devem se equilibrar em todas as direções.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de forças para uma das esferas, digamos a esfera A. As forças atuando nela são:
  • A força de repulsão horizontalmente ao longo da linha AB.
  • A tensão na corda AC, que tem um ângulo com a vertical.
  • A força peso , onde é a massa da esfera e é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²).

Passo 4

Como a esfera está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero. Vamos decompor a tensão em suas componentes horizontal e vertical:
  • Componente horizontal:
  • Componente vertical:

Passo 5

Aplicando o equilíbrio das forças horizontais:
Porque a força repulsiva é dividida igualmente entre as duas cordas.

Passo 6

Aplicando o equilíbrio das forças verticais:
Isso relaciona a tensão na corda com a massa da esfera e a gravidade.

Passo 7

Dividindo a equação horizontal pela equação vertical para eliminar :
Simplificando:

Passo 8

Precisamos encontrar . Para isso, vamos rearranjar a equação:
Mas ainda não sabemos , então vamos encontrar outra relação.

Passo 9

Rearranjando a equação horizontal para :
E da equação vertical:
Igualando as duas expressões para :

Passo 10

Resolvendo para :
Mas sabemos que , então podemos substituir para encontrar .

Passo 11

Substituindo da equação anterior:
Isso simplifica para:
O que confirma que nossas relações estão corretas, mas precisamos de outra abordagem para encontrar valores específicos.

Passo 12

Vamos assumir que as duas cordas formam o mesmo ângulo com a vertical devido à simetria. Então, a força total horizontal é e a força total vertical é .

Passo 13

Usando e :
Então:

Passo 14

Novamente, chegamos à mesma relação. Para determinar e , precisamos de mais informações ou fazer suposições. Como não há dados adicionais, vamos expressar em termos de .

Passo 15

Vamos reorganizar para :
Sem valores específicos para , essa é a relação entre os ângulos, força e massa.

Resposta

O ângulo entre as cordas e a vertical é dado por:
A tração nas cordas e é:
A massa de cada esfera é:
Com e ².

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