Duas esferas,
e
, têm massas iguais e estão eletrostaticamente carregadas, de modo que a força repulsiva que atua entre elas tem uma intensidade de 20 mN e está direcionada ao longo da linha
. Determine o ângulo
, a tração nas cordas
e
e a massa
de cada esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas esferas, A e B, com as mesmas massas e cargas elétricas. A força repulsiva entre elas é de 20 mN, e ela age ao longo da linha que liga as duas esferas, a linha AB. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de eletrostática (forças entre cargas), equilíbrio de forças e trigonometria básica. Para resolver, vamos precisar entender como as forças se equilibram nesses sistemas e aplicar algumas fórmulas matemáticas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema. As duas esferas estão suspensas por cordas, formando um triângulo com a linha AB. A força repulsiva
de 20 mN empurra as esferas para longe uma da outra. Como as cordas estão em equilíbrio, as forças devem se equilibrar em todas as direções.
Passo 3
Vamos desenhar um diagrama de forças para uma das esferas, digamos a esfera A. As forças atuando nela são:
- A força de repulsão
horizontalmente ao longo da linha AB. - A tensão
na corda AC, que tem um ângulo com a vertical. - A força peso
, onde é a massa da esfera e é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²).
Passo 4
Como a esfera está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero. Vamos decompor a tensão
em suas componentes horizontal e vertical:
- Componente horizontal:
- Componente vertical:
Passo 5
Aplicando o equilíbrio das forças horizontais:
Porque a força repulsiva é dividida igualmente entre as duas cordas.
Passo 6
Aplicando o equilíbrio das forças verticais:
Isso relaciona a tensão na corda com a massa da esfera e a gravidade.
Passo 7
Dividindo a equação horizontal pela equação vertical para eliminar
:
Simplificando:
Passo 8
Precisamos encontrar
. Para isso, vamos rearranjar a equação:
Mas ainda não sabemos
, então vamos encontrar outra relação.
Passo 9
Rearranjando a equação horizontal para
:
E da equação vertical:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 10
Resolvendo para
:
Mas sabemos que
, então podemos substituir para encontrar
.
Passo 11
Substituindo
da equação anterior:
Isso simplifica para:
O que confirma que nossas relações estão corretas, mas precisamos de outra abordagem para encontrar valores específicos.
Passo 12
Vamos assumir que as duas cordas formam o mesmo ângulo
com a vertical devido à simetria. Então, a força total horizontal é
e a força total vertical é
.
Passo 13
Usando
e
:
Então:
Passo 14
Novamente, chegamos à mesma relação. Para determinar
e
, precisamos de mais informações ou fazer suposições. Como não há dados adicionais, vamos expressar
em termos de
.
Passo 15
Vamos reorganizar para
:
Sem valores específicos para
, essa é a relação entre os ângulos, força e massa.
Resposta
O ângulo
entre as cordas e a vertical é dado por:
A tração nas cordas
e
é:
A massa de cada esfera é:
Com
e
.
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, mostre que
.