Um recipiente tem um furo circular de diâmetro
, numa profundidade de
. Para armazenar água
) é utilizada uma comporta quadrada, de lado
, com dobradiça na parte inferior horizontal. Os centros de gravidade do furo e da comporta coincidem. Considere
.
Se a comporta fosse exatamente do tamanho do furo, com dobradiça na parte inferior horizontal, calcular a mesma força externa da questão anterior.
Se a comporta fosse exatamente do tamanho do furo, com dobradiça na parte inferior horizontal, calcular a mesma força externa da questão anterior.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um recipiente com um furo circular de diâmetro
, localizado a uma profundidade
. A gente usa uma comporta quadrada com lado de
pra guardar água, e essa comporta tem dobradiça na parte inferior. Você vai imaginar que o centro de gravidade do furo e da comporta estão no mesmo lugar. A pergunta é: se a comporta fosse exatamente do tamanho do furo com dobradiça na parte inferior, qual seria a força externa?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente cálculo da força hidroestática em superfícies submersas.
Passo 2
Primeiro, precisamos ajustar o tamanho da comporta para que ela seja exatamente do tamanho do furo. Como o diâmetro do furo é
, a comporta também terá
de lado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da comporta que está submersa. Como a comporta é quadrada, a área
é:
Passo 4
A próxima coisa é determinar a pressão exercida pela água na comporta. A pressão em um ponto de um fluido é dada por:
Onde:
-
(densidade da água) -
(aceleração da gravidade) -
é a profundidade do ponto considerado.
Passo 5
Para calcular a força total, precisamos integrar a pressão sobre a área da comporta. Como a pressão varia com a profundidade, fazemos:
Onde
é a largura da comporta. Mas para simplificar, usamos a fórmula da força em uma superfície plana vertical:
Aqui,
é a profundidade do centro de pressão, que para uma superfície plana vertical é
, onde
é a profundidade do topo da comporta.
Passo 6
Sabendo que a profundidade total
e a altura da comporta é
, o centro de pressão fica a:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula da força:
Passo 8
Calculando passo a passo:
Resposta
A força externa exercida é de
.