Um recipiente tem um furo circular de diâmetro D=0,5 m, numa profundidade de H=4 m. Para armazenar água (rho=1000 Kg / m^3 ) é utilizada uma comporta quadrada, de lado 0,7 m, com dobradiça na parte inferior horizontal. Os centros de gravidade do furo e da comporta coincidem. Considere g=10 m / s^2.
Se a comporta fosse exatamente do tamanho do furo, com dobradiça na parte inferior horizontal, calcular a mesma força externa da questão anterior.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um recipiente com um furo circular de diâmetro D = 0,5 , m, localizado a uma profundidade H = 4 , m. A gente usa uma comporta quadrada com lado de 0,7 , m pra guardar água, e essa comporta tem dobradiça na parte inferior. Você vai imaginar que o centro de gravidade do furo e da comporta estão no mesmo lugar. A pergunta é: se a comporta fosse exatamente do tamanho do furo com dobradiça na parte inferior, qual seria a força externa?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente cálculo da força hidroestática em superfícies submersas.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar o tamanho da comporta para que ela seja exatamente do tamanho do furo. Como o diâmetro do furo é D = 0,5 , m, a comporta também terá 0,5 , m de lado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da comporta que está submersa. Como a comporta é quadrada, a área A é:
A = D times D = 0,5 , m times 0,5 , m = 0,25 , m^2

Passo 4

A próxima coisa é determinar a pressão exercida pela água na comporta. A pressão em um ponto de um fluido é dada por:
P = rho times g times h
Onde:
  • rho = 1000 , kg/m^3 (densidade da água)
  • g = 10 , m/s^2 (aceleração da gravidade)
  • h é a profundidade do ponto considerado.

Passo 5

Para calcular a força total, precisamos integrar a pressão sobre a área da comporta. Como a pressão varia com a profundidade, fazemos:
F = rho times g times integral0^H h , dh times L
Onde L é a largura da comporta. Mas para simplificar, usamos a fórmula da força em uma superfície plana vertical:
F = rho times g times A times barh
Aqui, barh é a profundidade do centro de pressão, que para uma superfície plana vertical é H + h2, onde H é a profundidade do topo da comporta.

Passo 6

Sabendo que a profundidade total H = 4 , m e a altura da comporta é D = 0,5 , m, o centro de pressão fica a:
barh = H + D2 = 4 , m + 0,5 , m2 = 4,25 , m

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula da força:
F = 1000 , kg/m^3 times 10 , m/s^2 times 0,25 , m^2 times 4,25 , m

Passo 8

Calculando passo a passo:
F = 1000 times 10 times 0,25 times 4,25
F = 10000 times 0,25 times 4,25
F = 2500 times 4,25
F = 10625 , N

Resposta

A força externa exercida é de 10,625 , N.

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