Um recipiente tem um furo circular de diâmetro D=0,5 m, numa profundidade de H=4 m. Para armazenar água (rho=1000 Kg / m^3 ) é utilizada uma comporta quadrada, de lado 0,7 m, com dobradiça na parte inferior horizontal. Os centros de gravidade do furo e da comporta coincidem. Considere g=10 m / s^2.
Calcular a força externa aplicada no extremo superior da comporta para não deixar sair o fluido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um recipiente com uma comporta quadrada que está presa por uma dobradiça na parte de baixo. Essa comporta está impedindo que a água saia por um furo circular localizado a uma profundidade de 4 metros. Queremos descobrir qual a força que precisamos aplicar no topo da comporta para que a água não escape. Vamos usar conceitos de estática de fluidos e equilíbrio de torques para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a pressão que a água exerce no furo. A pressão em um fluido em repouso é dada pela fórmula:
P = rho cdot g cdot H
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água ( rho ),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( 1000 , kg/m^3),
  • $ H $ é a profundidade do furo ( g ).
Substituindo os valores:
10 , m/s^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a força que essa pressão exerce na comporta. A força é igual à pressão multiplicada pela área onde ela atua. Como o furo é circular com diâmetro $ D = 0,5 , m $, o raio $ r $ é D = 0,5 , m . A área $ A $ do furo é:
r
Então, a força $ F $ é:
0,25 , m

Passo 4

Essa força vai causar um torque na comporta, que queremos equilibrar com a força que vamos aplicar no topo. O torque ($ \tau $) é dado por:
tau
Onde $ d $ é a distância do ponto de aplicação da força até a dobradiça. A comporta é um quadrado de lado tau = F cdot d , então $ d = 0,7 , m $.
d

Passo 5

Para equilibrar esse torque, precisamos aplicar uma força externa no topo da comporta que gere um torque igual e oposto. A força $ F_{ex} $ aplicada no topo, que está a uma distância $ d = 0,7 , m $ da dobradiça, deve satisfazer:
Fex
Resolvendo para $ F_{ex} $:
d = 0,7 , m

Resposta

A força externa necessária para manter a comporta fechada é de aproximadamente 7,854 , N.

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