Um novo processo de fabricação de moldes metálicos está sendo analisado em uma indústria. Os moldes são fabricados a partir de peças esféricas com 5 cm de diâmetro, mantidas inicialmente no interior de um forno, a 400^circ C. Assim que são retiradas do forno, as peças são imediatamente submetidas a um processo de resfriamento em 2 etapas:
1^ a . etapa - resfriamento em ar a 20^circ C até que a temperatura no centro das esferas atinja um valor crítico de 335^circ C. Para esta situação, o coeficiente convectivo de transmissão de calor é h1=10 W /(m^20 C).
2^ a etapa-depois de finalizada a 1^ a etapa é iniciada a 2^ a . etapa do resfriamento, inserindo-se as peças em um banho com escoamento de água a 25^circ Ce 0,006 m / s.
© Calcule o tempo necessário para que a temperatura na superficie da esfera atinja 40^circ C na etapa 2.
Propriedades do sólido: ks=20 W /(m cdot ^circ C) ; cp=1000 J /(kg ^circ C) e rhos=3000 kg / m^3 ;

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício que envolve o resfriamento de esferas metálicas em duas etapas. No caso específico, precisamos calcular o tempo necessário para que a temperatura na superfície da esfera atinja 40^circ C na segunda etapa de resfriamento.
Conteúdo da Matéria:
  • Transferência de Calor por Convecção
  • Condução de Calor Transiente em Sólidos
  • Método das Capacitâncias Concretas (Método Lumped)
O que vamos precisar:
  1. Conceito de Número de Biot ( Bi): Para verificar se podemos aplicar o método das capacitâncias concretas.
  2. Equação de Resfriamento Transiente: Para calcular o tempo de resfriamento.
  3. Propriedades do Material: Condutividade térmica ( ks), capacidade térmica específica ( cp) e densidade ( rhos) da esfera.

Passo 2

Calculando o Número de Biot ( Bi)
Antes de aplicarmos qualquer método, precisamos verificar se o método das capacitâncias concretas é válido. Para isso, calculamos o Número de Biot:
Bi = h cdot Lcks
Onde:
  • h é o coeficiente convectivo.
  • Lc é o comprimento característico. Para uma esfera, Lc = R3, mas geralmente usamos o raio diretamente.
  • ks é a condutividade térmica do sólido.
Dados:
  • h2 (segunda etapa) = ?? (O enunciado não fornece diretamente o h na segunda etapa, mas podemos considerar que h na água é maior que no ar. Vamos supor h2 = 500 , W/(m^2 cdot C) para fins de cálculo. Se houver um valor específico, use-o.)
  • Diâmetro da esfera = 5 cm Rightarrow Raio R = 2,5 , cm = 0,025 , m
  • ks = 20 , W/(m cdot C)
Bi = 500 times 0,02520 = 12,520 = 0,625
Como Bi > 0,1, o método das capacitâncias concretas não é válido. Portanto, precisamos usar outro método, como a solução da equação de condução transiente para uma esfera.

Passo 3

Aplicando a Equação de Condução Transiente em uma Esfera
Como o método das capacitâncias concretas não é aplicável, utilizaremos a solução da equação de condução transiente para esferas, que envolve séries de termos de Bessel.
A equação geral para a temperatura na superfície de uma esfera é:
Ts(t) - TinftyTi - Tinfty = exp(-lambda1^2 alpha tR^2)
Onde:
  • Ts(t) = temperatura na superfície no tempo t
  • Tinfty = temperatura do fluido (água)
  • Ti = temperatura inicial da superfície
  • alpha = ksrhos cp = difusividade térmica
  • lambda1 = primeiro zero da função tan(lambda) = lambda
Para uma esfera, lambda1 approx 2,405.
Calculando a Difusividade Térmica ( alpha):
alpha = ksrhos cp = 203000 times 1000 = 203,000,000 approx 6,67 times 10^-6 , m^2/s

Passo 4

Rearranjando a Equação para Encontrar o Tempo ( t)
Queremos encontrar t quando Ts(t) = 40^circ C.
Primeiro, reorganizamos a equação:
exp(-lambda1^2 alpha tR^2) = Ts(t) - TinftyTi - Tinfty
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
-lambda1^2 alpha tR^2 = ln(Ts(t) - TinftyTi - Tinfty)
Isolando t:
t = -R^2lambda1^2 alpha ln(Ts(t) - TinftyTi - Tinfty)

Passo 5

Substituindo os Valores e Calculando o Tempo ( t)
Dados:
  • Ts(t) = 40^circ C
  • Tinfty = 25^circ C (temperatura da água)
  • Ti = 335^circ C (temperatura inicial na superfície após a primeira etapa)
  • R = 0,025 , m
  • lambda1 = 2,405
  • alpha = 6,67 times 10^-6 , m^2/s
Substituindo na equação:
t = -0,025^2(2,405)^2 times 6,67 times 10^-6 ln(40 - 25335 - 25)
Calculando os termos:
0,025^2(2,405)^2 times 6,67 times 10^-6 = 0,0006255,78 times 6,67 times 10^-6 approx 0,0006253,86 times 10^-5 approx 16,19 , s
Calculando o logaritmo:
ln(15310) = ln(0,048387) approx -3,029
Portanto:
t = -16,19 times (-3,029) approx 16,19 times 3,029 approx 48,94 , s

Resposta

O tempo necessário para que a temperatura na superfície da esfera atinja 40^circ C na segunda etapa de resfriamento é aproximadamente 49 segundos.

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