Um novo processo de fabricação de moldes metálicos está sendo analisado em uma indústria. Os moldes são fabricados a partir de peças esféricas com 5 cm de diâmetro, mantidas inicialmente no interior de um forno, a
. Assim que são retiradas do forno, as peças são imediatamente submetidas a um processo de resfriamento em 2 etapas:
. etapa - resfriamento em ar a
até que a temperatura no centro das esferas atinja um valor crítico de
. Para esta situação, o coeficiente convectivo de transmissão de calor é
.
etapa-depois de finalizada a
etapa é iniciada a
. etapa do resfriamento, inserindo-se as peças em um banho com escoamento de água a
.
© Calcule o tempo necessário para que a temperatura na superficie da esfera atinja
na etapa 2.
Propriedades do sólido:
e
© Calcule o tempo necessário para que a temperatura na superficie da esfera atinja
Propriedades do sólido:
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício que envolve o resfriamento de esferas metálicas em duas etapas. No caso específico, precisamos calcular o tempo necessário para que a temperatura na superfície da esfera atinja
na segunda etapa de resfriamento.
Conteúdo da Matéria:
- Transferência de Calor por Convecção
- Condução de Calor Transiente em Sólidos
- Método das Capacitâncias Concretas (Método Lumped)
O que vamos precisar:
- Conceito de Número de Biot (
): Para verificar se podemos aplicar o método das capacitâncias concretas. - Equação de Resfriamento Transiente: Para calcular o tempo de resfriamento.
- Propriedades do Material: Condutividade térmica (
), capacidade térmica específica ( ) e densidade ( ) da esfera.
Passo 2
Calculando o Número de Biot (
)
Antes de aplicarmos qualquer método, precisamos verificar se o método das capacitâncias concretas é válido. Para isso, calculamos o Número de Biot:
Onde:
-
é o coeficiente convectivo. -
é o comprimento característico. Para uma esfera, , mas geralmente usamos o raio diretamente. -
é a condutividade térmica do sólido.
Dados:
-
(segunda etapa) = (O enunciado não fornece diretamente o na segunda etapa, mas podemos considerar que na água é maior que no ar. Vamos supor para fins de cálculo. Se houver um valor específico, use-o.) - Diâmetro da esfera = 5 cm
Raio -
Como
, o método das capacitâncias concretas não é válido. Portanto, precisamos usar outro método, como a solução da equação de condução transiente para uma esfera.
Passo 3
Aplicando a Equação de Condução Transiente em uma Esfera
Como o método das capacitâncias concretas não é aplicável, utilizaremos a solução da equação de condução transiente para esferas, que envolve séries de termos de Bessel.
A equação geral para a temperatura na superfície de uma esfera é:
Onde:
-
= temperatura na superfície no tempo -
= temperatura do fluido (água) -
= temperatura inicial da superfície -
= difusividade térmica -
= primeiro zero da função
Para uma esfera,
.
Calculando a Difusividade Térmica (
):
Passo 4
Rearranjando a Equação para Encontrar o Tempo (
)
Queremos encontrar
quando
.
Primeiro, reorganizamos a equação:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
:
Passo 5
Substituindo os Valores e Calculando o Tempo (
)
Dados:
-
-
(temperatura da água) -
(temperatura inicial na superfície após a primeira etapa) -
-
-
Substituindo na equação:
Calculando os termos:
Calculando o logaritmo:
Portanto:
Resposta
O tempo necessário para que a temperatura na superfície da esfera atinja
na segunda etapa de resfriamento é aproximadamente 49 segundos.