Defina o seno e o co-seno complexos por
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma
. Mostre que essas funções são periodicas e determine seus periodos. Ache os zeros dessas funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com as funções seno e cosseno complexos, definidas por:
A gente vai precisar usar conceitos de funções complexas, derivadas de funções complexas, periodicidade e zeros dessas funções. Vamos por partes para entender e resolver cada pedido.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que essas funções são inteiras. No contexto das funções complexas, ser “inteira” significa que a função é analítica em todo o plano complexo, ou seja, ela não tem pontos onde deixa de ser diferenciável.
As funções exponenciais
e
são inteiras porque são definidas e diferenciáveis em qualquer número complexo
. Como o cosseno e o seno complexos são combinações lineares dessas funções exponenciais, elas também são inteiras.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções. Para isso, usamos as regras de derivação de funções exponenciais. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
.
Então, para o cosseno complexo:
E para o seno complexo:
Passo 4
Vamos expressar as funções
e na forma
, onde
e
são funções reais.
Seja
, onde
e
são números reais. Usando as fórmulas de Euler, temos:
Separando em partes reais e imaginárias:
De forma semelhante, para o seno:
Separando em partes reais e imaginárias:
Passo 5
Vamos mostrar que essas funções são periódicas e encontrar seus períodos. Uma função
é periódica se existe um número
tal que
para todo
.
Para o cosseno complexo:
Sabemos que
, então:
Portanto, o período do cosseno complexo é
.
Para o seno complexo:
Novamente,
, então:
Assim, o período do seno complexo também é
.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar os zeros dessas funções, ou seja, os valores de
para os quais
e .
Para
:
Isso acontece quando
, onde
é um inteiro. Assim:
Para :
Isso acontece quando
, onde
é um inteiro. Assim:
Resposta
As funções seno e cosseno complexos são inteiras, têm derivadas dadas por e . Escrevidas na forma
, temos:
Essas funções são periódicas com período
e seus zeros são:
- Para
: , onde é inteiro. - Para :
, onde é inteiro.
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(j)
(j)
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e use-a para mostrar que
é uma função contínua em
para
.
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Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma
.
Determine todos os
que satisfazem
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)