Defina o seno e o co-seno complexos por
cos(z) = 1/2 (e^(i z) + e^(-i z)) sen(z) = 1/(2i) (e^(i z) - e^(-i z))
Mostre que essas funções são inteiras e calcule suas derivadas. Dê essas funções na forma u + i v. Mostre que essas funções são periodicas e determine seus periodos. Ache os zeros dessas funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com as funções seno e cosseno complexos, definidas por:
A gente vai precisar usar conceitos de funções complexas, derivadas de funções complexas, periodicidade e zeros dessas funções. Vamos por partes para entender e resolver cada pedido.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que essas funções são inteiras. No contexto das funções complexas, ser “inteira” significa que a função é analítica em todo o plano complexo, ou seja, ela não tem pontos onde deixa de ser diferenciável.
As funções exponenciais e são inteiras porque são definidas e diferenciáveis em qualquer número complexo . Como o cosseno e o seno complexos são combinações lineares dessas funções exponenciais, elas também são inteiras.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções. Para isso, usamos as regras de derivação de funções exponenciais. A derivada de em relação a é , e a derivada de é .
Então, para o cosseno complexo:
E para o seno complexo:

Passo 4

Vamos expressar as funções e na forma , onde e são funções reais.
Seja , onde e são números reais. Usando as fórmulas de Euler, temos:
Separando em partes reais e imaginárias:
De forma semelhante, para o seno:
Separando em partes reais e imaginárias:

Passo 5

Vamos mostrar que essas funções são periódicas e encontrar seus períodos. Uma função é periódica se existe um número tal que para todo .
Para o cosseno complexo:
Sabemos que , então:
Portanto, o período do cosseno complexo é .
Para o seno complexo:
Novamente, , então:
Assim, o período do seno complexo também é .

Passo 6

Por fim, vamos encontrar os zeros dessas funções, ou seja, os valores de para os quais e .
Para :
Isso acontece quando , onde é um inteiro. Assim:
Para :
Isso acontece quando , onde é um inteiro. Assim:

Resposta

As funções seno e cosseno complexos são inteiras, têm derivadas dadas por e . Escrevidas na forma , temos:
Essas funções são periódicas com período e seus zeros são:
  • Para : , onde é inteiro.
  • Para : , onde é inteiro.

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