Verifique que a reta r:lx=-1+t y=2+3 t z=5 t está contida no plano x+y-z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a reta x = -1 + t y = 2 + 3t z = 5t , definida pelas equações paramétricas
está contida no plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como uma reta pode estar dentro de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta estar contida em um plano. Isso quer dizer que todos os pontos da reta também satisfazem a equação do plano. Ou seja, se substituirmos as coordenadas , e da reta na equação do plano, a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor do parâmetro .

Passo 3

Vamos substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano:
x + y - z = (-1 + t) + (2 + 3t) - (5t)
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 4

Primeiro, some os termos:
(-1 + t) + (2 + 3t) = (-1 + 2) + (t + 3t) = 1 + 4t
Agora, subtraia 1 + 4t - 5t = 1 - t :

Passo 5

A equação do plano é 1 - t = 3 . Então, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para ver se é válida para qualquer .

Passo 6

Resolvendo -t = 3 - 1 -t = 2 t = -2 :
Isso significa que a igualdade só é válida quando . Ou seja, apenas um ponto da reta está no plano, não todos os pontos.

Resposta

A reta não está contida no plano , pois apenas o ponto correspondente a satisfaz a equação do plano.

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