Sejam u=(1,-1) e v=(2,1) vetores no plano. Encontre escalares alpha e beta tais que alpha u+beta v=(1,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no plano, u = (1, -1) e v = (2, 1). A questão pede para encontrar os escalares alpha e beta que, quando a gente combina esses vetores assim: alpha u + beta v, o resultado seja o vetor (1, -4). Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente de combinação linear de vetores. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações com as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos vetores u e v:
alpha u + beta v = alpha (1, -1) + beta (2, 1)
Isso resulta em:
(alpha cdot 1 + beta cdot 2, alpha cdot (-1) + beta cdot 1) = (alpha + 2beta, -alpha + beta)
E queremos que isso seja igual a (1, -4), então temos duas equações:
alpha + 2beta = 1 (1)
-alpha + beta = -4 (2)

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de duas equações com duas incógnitas. Uma maneira simples é somar as duas equações para eliminar uma das variáveis.
Somando (1) e (2):
(alpha + 2beta) + (-alpha + beta) = 1 + (-4)
Simplificando:
3beta = -3
Então,
beta = -1

Passo 4

Com o valor de beta encontrado, vamos substituir na equação (1) para achar alpha:
alpha + 2(-1) = 1
alpha - 2 = 1
alpha = 3

Resposta

Os escalares são alpha = 3 e beta = -1.

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