Considere o campo vetorial F(x) = < y / (x^2 + y^2), -x / (x^2 + y^2), 0 >. Mostre que F pode ser escrito como o gradiente de um potencial phi. Mostre também que a integral de linha de F ao redor do círculo unitário x^2 + y^2 = 1 é diferente de zero. Explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com um campo vetorial específico:
A gente vai mostrar que esse campo pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial . Depois, vamos calcular a integral de linha de ao redor do círculo unitário e ver por que o resultado não contraria o Teorema 3.1. Para isso, vamos precisar conhecer noções de cálculo vetorial, como gradiente, integrais de linha e teoremas sobre campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que:
Isso significa que é o gradiente de . Se conseguirmos encontrar , mostramos que é conservativo.

Passo 3

Vamos tentar encontrar tal que:
Começamos integrando a primeira equação em relação a :
Aqui, tratamos como constante. A integral fica:
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda componente de :
Queremos que isso seja igual a :
Isso implica que:
Mas isso não é possível, porque só depende de e não de . Portanto, concluímos que não existe uma função que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Ou seja, o campo não é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha de ao redor do círculo unitário . Parametrizando o círculo com coordenadas polares:
Onde varia de a .

Passo 6

A integral de linha fica:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral de linha vale , que é diferente de zero.

Passo 7

Por fim, vamos entender por que isso não contraria o Teorema 3.1. Esse teorema geralmente afirma que em domínios simplesmente conectados, um campo conservativo tem integral de linha nula em qualquer ciclo fechado. No nosso caso, o campo não é definido em todos os pontos do plano, especialmente no ponto onde há uma descontinuidade (o denominador zera). Isso significa que o domínio não é simplesmente conectado, já que temos uma “lacuna” no meio. Portanto, o Teorema 3.1 não se aplica aqui, e nada está de errado com a integral de linha ser diferente de zero.

Resposta

Concluímos que o campo vetorial não pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial e que a integral de linha de ao redor do c��rculo unitário é igual a , diferente de zero. Esse resultado não contraria o Teorema 3.1 porque o campo não está definido em todo o plano, tornando o domínio não simplesmente conectado.

Exercícios relacionados

Encontre o gradiente do campo escalar f(x) = x y z e avalie-o no ponto (1, 2, 3). Portanto, encontre a derivada direcional de f neste ponto na direção do vetor ⟨ 1, 1, 0 ⟩.
Reescreva as identidades do exercício anterior em forma equivalente, utilizando a notação nabla vezes para o rotacional.
Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: d f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)
Encontre a div f para o campo vetorial dado: f(x, y) = <cos(x), -sen(y)>