Considere o campo vetorial
. Mostre que
pode ser escrito como o gradiente de um potencial
. Mostre também que a integral de linha de
ao redor do círculo unitário
é diferente de zero. Explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com um campo vetorial específico:
A gente vai mostrar que esse campo pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
. Depois, vamos calcular a integral de linha de
ao redor do círculo unitário
e ver por que o resultado não contraria o Teorema 3.1. Para isso, vamos precisar conhecer noções de cálculo vetorial, como gradiente, integrais de linha e teoremas sobre campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Isso significa que
é o gradiente de
. Se conseguirmos encontrar
, mostramos que
é conservativo.
Passo 3
Vamos tentar encontrar
tal que:
Começamos integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui, tratamos
como constante. A integral fica:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Queremos que isso seja igual a
:
Isso implica que:
Mas isso não é possível, porque
só depende de
e não de
. Portanto, concluímos que não existe uma função
que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Ou seja, o campo
não é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha de
ao redor do círculo unitário
. Parametrizando o círculo com coordenadas polares:
Onde
varia de
a
.
Passo 6
A integral de linha fica:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral de linha vale
, que é diferente de zero.
Passo 7
Por fim, vamos entender por que isso não contraria o Teorema 3.1. Esse teorema geralmente afirma que em domínios simplesmente conectados, um campo conservativo tem integral de linha nula em qualquer ciclo fechado. No nosso caso, o campo
não é definido em todos os pontos do plano, especialmente no ponto
onde há uma descontinuidade (o denominador
zera). Isso significa que o domínio não é simplesmente conectado, já que temos uma “lacuna” no meio. Portanto, o Teorema 3.1 não se aplica aqui, e nada está de errado com a integral de linha ser diferente de zero.
Resposta
Concluímos que o campo vetorial
não pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
e que a integral de linha de
ao redor do c��rculo unitário
é igual a
, diferente de zero. Esse resultado não contraria o Teorema 3.1 porque o campo
não está definido em todo o plano, tornando o domínio não simplesmente conectado.
Exercícios relacionados
Encontre o gradiente do campo escalar
e avalie-o no ponto (1, 2, 3). Portanto, encontre a derivada direcional de
neste ponto na direção do vetor
.
Reescreva as identidades do exercício anterior em forma equivalente, utilizando a notação
para o rotacional.
Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
Encontre a div
para o campo vetorial dado: