Em uma refinaria de petróleo uma fissura no reservatório de gasolina provocou um grande vazamento. Os técnicos responsáveis pelo conserto estimaram que a partir do instante que ocorreu a variar o volume V de gasolina restante no reservatório em quilo litros em função do tempo T em horas podia ser calculado pela função V(t) = -2t² - 8t + 120. Para que seja salvo 80% da gasolina do reservatório, em quanto tempo os técnicos deverão realizar o conserto?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um reservatório de gasolina que está vazando, e queremos descobrir em quanto tempo os técnicos precisam consertar a fissura para salvar 80% da gasolina original. A função que descreve o volume de gasolina restante no reservatório ao longo do tempo é:
Aqui, V(t) é o volume de gasolina em kilolitros (kl) após t horas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções quadráticas e calcular porcentagens.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o volume inicial de gasolina no reservatório. Isso acontece no instante t = 0.
Então, inicialmente, temos 120 kl de gasolina no reservatório.
Passo 3
Queremos salvar 80% dessa gasolina. Vamos calcular quanto isso representa:
Ou seja, queremos que o volume de gasolina restante seja pelo menos 96 kl.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o tempo t em que o volume de gasolina V(t) será igual a 96 kl. Para isso, colocamos V(t) = 96 na função e resolvemos para t:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Para facilitar a resolução, vamos dividir todos os termos por -2:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática padrão:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde a = 1, b = 4 e c = -12.
Passo 7
Calculando o discriminante (Δ):
Como Δ = 64, que é positivo, temos duas soluções reais.
Passo 8
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas possibilidades:
- t = ( -4 + 8 ) / 2 = 4 / 2 = 2
- t = ( -4 - 8 ) / 2 = -12 / 2 = -6
Passo 9
Como o tempo t não pode ser negativo, descartamos t = -6. Portanto, a única solução válida é t = 2 horas.
Resposta
Os técnicos devem realizar o conserto em até 2 horas para salvar 80% da gasolina do reservatório.