Em uma refinaria de petróleo uma fissura no reservatório de gasolina provocou um grande vazamento. Os técnicos responsáveis pelo conserto estimaram que a partir do instante que ocorreu a variar o volume V de gasolina restante no reservatório em quilo litros em função do tempo T em horas podia ser calculado pela função V(t) = -2t² - 8t + 120. Para que seja salvo 80% da gasolina do reservatório, em quanto tempo os técnicos deverão realizar o conserto?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um reservatório de gasolina que está vazando, e queremos descobrir em quanto tempo os técnicos precisam consertar a fissura para salvar 80% da gasolina original. A função que descreve o volume de gasolina restante no reservatório ao longo do tempo é:
V(t) = -2t² - 8t + 120 ²
Aqui, V(t) é o volume de gasolina em kilolitros (kl) após t horas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções quadráticas e calcular porcentagens.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o volume inicial de gasolina no reservatório. Isso acontece no instante t = 0.
V(0) = -2(0)² - 8(0) + 120 = 120 kl ²
Então, inicialmente, temos 120 kl de gasolina no reservatório.

Passo 3

Queremos salvar 80% dessa gasolina. Vamos calcular quanto isso representa:
80% de 120 kl = 0,8 times 120 = 96 kl
Ou seja, queremos que o volume de gasolina restante seja pelo menos 96 kl.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o tempo t em que o volume de gasolina V(t) será igual a 96 kl. Para isso, colocamos V(t) = 96 na função e resolvemos para t:
-2t² - 8t + 120 = 96 ²

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
-2t² - 8t + 120 - 96 = 0 -2t² - 8t + 24 = 0 ²²
Para facilitar a resolução, vamos dividir todos os termos por -2:
t² + 4t - 12 = 0 ²

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática padrão:
t² + 4t - 12 = 0 ²
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb² - 4ac2a ²
Onde a = 1, b = 4 e c = -12.

Passo 7

Calculando o discriminante (Δ):
Δ = b² - 4ac = 4² - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64 ²²
Como Δ = 64, que é positivo, temos duas soluções reais.

Passo 8

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = -4 pm raiz642 times 1 t = -4 pm 82
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. t = ( -4 + 8 ) / 2 = 4 / 2 = 2
  2. t = ( -4 - 8 ) / 2 = -12 / 2 = -6

Passo 9

Como o tempo t não pode ser negativo, descartamos t = -6. Portanto, a única solução válida é t = 2 horas.

Resposta

Os técnicos devem realizar o conserto em até 2 horas para salvar 80% da gasolina do reservatório.

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