Um refrigerador ideal ou uma bomba de calor ideal são equivalentes a uma máquina de Carnot funcionando ao contrário. Isto é, o calor Qf é absorvido de um reservatório frio e o calor Qq é rejeitado para um reservatório quente. (a) Demonstre que o trabalho que deve ser fornecido para fazer funcionar o refrigerador ou a bomba de calor é W=(Tq-Tf) Qf / Tf.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre refrigeradores ou bombas de calor ideais, que na verdade são como uma máquina de Carnot funcionando ao contrário. A gente vai precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre ciclos de Carnot, eficiência térmica e a relação entre calor, trabalho e temperaturas. Vamos demonstrar uma fórmula que relaciona o trabalho necessário para o funcionamento do refrigerador com as temperaturas dos reservatórios quente e frio e o calor absorvido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma máquina de Carnot. Ela opera entre dois reservatórios de temperatura Tq (quente) e Tf (frio). No caso de um refrigerador, a máquina de Carnot funciona ao contrário: em vez de converter calor em trabalho, a gente precisa fornecer trabalho para mover o calor do reservatório frio para o quente.

Passo 3

A eficiência de uma máquina de Carnot é dada por:
eta = 1 - TfTq
Para um refrigerador, queremos relacionar o trabalho W fornecido com o calor Qf retirado do reservatório frio.

Passo 4

Sabemos que, para a máquina de Carnot funcionando ao contrário, a relação entre os calores e o trabalho é:
QqQf = TqTf
Isso significa que o calor rejeitado para o reservatório quente Qq é proporcional à razão das temperaturas.

Passo 5

Além disso, a energia total fornecida para o sistema é a soma do calor extraído e o trabalho fornecido:
W = Qq - Qf
Substituindo a relação do passo anterior:
W = TqTf Qf - Qf

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa expressão fatorando Qf:
W = Qf ( TqTf - 1 )
W = Qf ( Tq - TfTf )

Resposta

Portanto, o trabalho necessário para o funcionamento do refrigerador ou bomba de calor é:
W = (Tq - Tf) QfTf

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