Um refrigerador ideal ou uma bomba de calor ideal são equivalentes a uma máquina de Carnot funcionando ao contrário. Isto é, o calor
é absorvido de um reservatório frio e o calor
é rejeitado para um reservatório quente. (a) Demonstre que o trabalho que deve ser fornecido para fazer funcionar o refrigerador ou a bomba de calor é
.
Passo 1
Então, temos um exercício sobre refrigeradores ou bombas de calor ideais, que na verdade são como uma máquina de Carnot funcionando ao contrário. A gente vai precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre ciclos de Carnot, eficiência térmica e a relação entre calor, trabalho e temperaturas. Vamos demonstrar uma fórmula que relaciona o trabalho necessário para o funcionamento do refrigerador com as temperaturas dos reservatórios quente e frio e o calor absorvido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma máquina de Carnot. Ela opera entre dois reservatórios de temperatura
(quente) e
(frio). No caso de um refrigerador, a máquina de Carnot funciona ao contrário: em vez de converter calor em trabalho, a gente precisa fornecer trabalho para mover o calor do reservatório frio para o quente.
Passo 3
A eficiência de uma máquina de Carnot é dada por:
Para um refrigerador, queremos relacionar o trabalho
fornecido com o calor
retirado do reservatório frio.
Passo 4
Sabemos que, para a máquina de Carnot funcionando ao contrário, a relação entre os calores e o trabalho é:
Isso significa que o calor rejeitado para o reservatório quente
é proporcional à razão das temperaturas.
Passo 5
Além disso, a energia total fornecida para o sistema é a soma do calor extraído e o trabalho fornecido:
Substituindo a relação do passo anterior:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa expressão fatorando
:
Resposta
Portanto, o trabalho necessário para o funcionamento do refrigerador ou bomba de calor é: