a) Se a região de aceitação for definida como 98,5 <= barx <= 101,5, encontre a probabilidade alpha do erro tipo I .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a probabilidade do erro tipo I, que é quando a gente rejeita a hipótese verdadeira por engano. O enunciado nos dá a região de aceitação: 98,5 <= barx <= 101,5. Vamos usar conceitos de Testes de Hipóteses e Distribuição Normal para resolver isso. Precisaremos saber a média e o desvio padrão da população, ou informações suficientes para determinar a distribuição da média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é erro tipo I ( alpha). É a probabilidade de rejeitar a hipótese nula ( H0) quando ela é verdadeira. Geralmente, H0 representa a situação de “não mudança” ou “status quo”.
Aqui, a região de aceitação é 98,5 <= barx <= 101,5, então a região de rejeição será qualquer média amostral menor que 98,5 ou maior que 101,5.

Passo 3

Para calcular alpha, precisamos saber a distribuição da média amostral barx. Vamos supor que a média populacional seja mu e o desvio padrão seja sigma, com tamanho da amostra n. A distribuição de barx será normal com média mu e desvio padrão sigmaraizn.
A fórmula é:
barx sim N(mu, sigmaraizn)

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades de barx estar fora da região de aceitação. Isso é:
P(barx < 98,5) + P(barx > 101,5)
Para isso, podemos transformar essas médias em escores z usando a fórmula:
z = barx - musigmaraizn

Passo 5

Supondo que mu = 100, sigma = 10, e o tamanho da amostra n = 25, vamos calcular os escores z para 98,5 e 101,5.
Para barx = 98,5:
z = 98,5 - 10010raiz25 = -1,52 = -0,75
Para barx = 101,5:
z = 101,5 - 10010raiz25 = 1,52 = 0,75

Passo 6

Agora, vamos encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z na tabela da distribuição normal padrão.
P(z < -0,75) approx 0,2266
P(z > 0,75) = 1 - P(z < 0,75) approx 1 - 0,7734 = 0,2266

Passo 7

Somando as duas probabilidades para obter alpha:
alpha = 0,2266 + 0,2266 = 0,4532

Resposta

A probabilidade do erro tipo I alpha é aproximadamente 45,32%.

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