a) Se a região de aceitação for definida como , encontre a probabilidade do erro tipo I .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a probabilidade do erro tipo I, que é quando a gente rejeita a hipótese verdadeira por engano. O enunciado nos dá a região de aceitação: . Vamos usar conceitos de Testes de Hipóteses e Distribuição Normal para resolver isso. Precisaremos saber a média e o desvio padrão da população, ou informações suficientes para determinar a distribuição da média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é erro tipo I ( ). É a probabilidade de rejeitar a hipótese nula ( ) quando ela é verdadeira. Geralmente, representa a situação de “não mudança” ou “status quo”.
Aqui, a região de aceitação é , então a região de rejeição será qualquer média amostral menor que 98,5 ou maior que 101,5.

Passo 3

Para calcular , precisamos saber a distribuição da média amostral . Vamos supor que a média populacional seja e o desvio padrão seja , com tamanho da amostra . A distribuição de será normal com média e desvio padrão .
A fórmula é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades de estar fora da região de aceitação. Isso é:
Para isso, podemos transformar essas médias em escores z usando a fórmula:

Passo 5

Supondo que , , e o tamanho da amostra , vamos calcular os escores z para 98,5 e 101,5.
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z na tabela da distribuição normal padrão.

Passo 7

Somando as duas probabilidades para obter :

Resposta

A probabilidade do erro tipo I é aproximadamente 45,32%.

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