a) Se a região de aceitação for definida como
, encontre a probabilidade
do erro tipo I .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a probabilidade do erro tipo I, que é quando a gente rejeita a hipótese verdadeira por engano. O enunciado nos dá a região de aceitação:
. Vamos usar conceitos de Testes de Hipóteses e Distribuição Normal para resolver isso. Precisaremos saber a média e o desvio padrão da população, ou informações suficientes para determinar a distribuição da média amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é erro tipo I (
). É a probabilidade de rejeitar a hipótese nula (
) quando ela é verdadeira. Geralmente,
representa a situação de “não mudança” ou “status quo”.
Aqui, a região de aceitação é
, então a região de rejeição será qualquer média amostral menor que 98,5 ou maior que 101,5.
Passo 3
Para calcular
, precisamos saber a distribuição da média amostral
. Vamos supor que a média populacional seja
e o desvio padrão seja
, com tamanho da amostra
. A distribuição de
será normal com média
e desvio padrão
.
A fórmula é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as probabilidades de
estar fora da região de aceitação. Isso é:
Para isso, podemos transformar essas médias em escores z usando a fórmula:
Passo 5
Supondo que
,
, e o tamanho da amostra
, vamos calcular os escores z para 98,5 e 101,5.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z na tabela da distribuição normal padrão.
Passo 7
Somando as duas probabilidades para obter
:
Resposta
A probabilidade do erro tipo I
é aproximadamente 45,32%.
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