Para uma variável aleatória discreta X com a seguinte função de probabilidade de massa (fpm):
P(X=0)=0.2, P(X=1)=0.5, P(X=2)=0.3
determine a função de distribuição acumulada (FDA) de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma variável aleatória discreta com uma função de probabilidade de massa (fpm) especificada para os valores 0, 1 e 2. O que precisamos fazer é determinar a função de distribuição acumulada (FDA) dessa variável. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade, principalmente como acumular as probabilidades para cada valor que pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, denotada por FX(x) = P(X <= x) , nos diz a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, é representada por:
Isso significa que, para cada valor de , vamos somar todas as probabilidades de ser até aquele valor.

Passo 3

Agora, vamos calcular a FDA para cada intervalo de P(X=0) = 0.2, P(X=1) = 0.5, P(X=2) = 0.3 com base na fpm fornecida:
FX(x) = 0
  • Para FX(x) = P(X <= 0) = P(X=0) = 0.2 :
    FX(x) = P(X <= 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.2 + 0.5 = 0.7
    Porque FX(x) = P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0 não pode ser menor que 0.
  • Para :
    Aqui, só consideramos .
  • Para :
    Agora, acumulamos e .
  • Para :
    Aqui, somamos todas as probabilidades, chegando a 1, como esperado.

Resposta

A função de distribuição acumulada (FDA) de FX(x) = 0, & x < 0 0.2, & 0 <= x < 1 0.7, & 1 <= x < 2 1.0, & x >= 2 é:

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