A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante: y^2 - x^2 = 1, y = 2; em torno do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas curvas: e . A ideia é encontrar o volume do sólido que resulta quando a região entre essas curvas é girada em torno do eixo y. Vamos precisar usar o método dos discos ou anéis para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas. A equação representa uma hipérbole. Para facilitar, podemos reescrever essa equação isolando :
Isso nos mostra que para cada valor de , podemos encontrar . A outra curva é simplesmente uma linha horizontal em .

Passo 3

Agora, precisamos determinar onde essas curvas se intersectam, ou seja, os valores de que satisfazem ambas as equações. Já sabemos que uma das curvas é , então vamos substituir isso na equação da hipérbole:
ou
Então, as curvas se interceptam em e .

Passo 4

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, usamos o método dos discos/anel. A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é o raio externo.
  • é o raio interno.
  • e são os limites de integração em .

Passo 5

No nosso caso, o sólido é gerado pela rotação da região entre a hipérbole e a linha em torno do eixo y. O raio externo é a distância do eixo y até a linha , que na verdade é constante e igual a até a hipérbole. Porém, como estamos girando em torno do eixo y, vamos considerar apenas uma das funções para :
Então, o raio externo é , e não há raio interno porque estamos girando uma única curva.

Passo 6

Os limites de integração são de até . Por quê? Porque a hipérbole tem a mínima altura em .
Então, nossos limites são:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:

Resposta

O volume do sólido resultante é unidades cúbicas.

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