A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo y
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas curvas:
e
. A ideia é encontrar o volume do sólido que resulta quando a região entre essas curvas é girada em torno do eixo y. Vamos precisar usar o método dos discos ou anéis para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas. A equação
representa uma hipérbole. Para facilitar, podemos reescrever essa equação isolando
:
Isso nos mostra que para cada valor de
, podemos encontrar
. A outra curva é simplesmente uma linha horizontal em
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar onde essas curvas se intersectam, ou seja, os valores de
que satisfazem ambas as equações. Já sabemos que uma das curvas é
, então vamos substituir isso na equação da hipérbole:
Então, as curvas se interceptam em
e
.
Passo 4
Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, usamos o método dos discos/anel. A fórmula geral para o volume
é:
Onde:
-
é o raio externo. -
é o raio interno. -
e são os limites de integração em .
Passo 5
No nosso caso, o sólido é gerado pela rotação da região entre a hipérbole
e a linha
em torno do eixo y. O raio externo
é a distância do eixo y até a linha
, que na verdade é constante e igual a
até a hipérbole. Porém, como estamos girando em torno do eixo y, vamos considerar apenas uma das funções para
:
Então, o raio externo
é
, e não há raio interno porque estamos girando uma única curva.
Passo 6
Os limites de integração são de
até
. Por quê? Porque a hipérbole
tem a mínima altura em
.
Então, nossos limites são:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Resposta
O volume do sólido resultante é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
(d) Em quais pontos
existe apenas o limite à direita
?
Suponha que
. Para qual valor de
a área da região limitada pelas curvas
e
é igual a área da região limitada pelas curvas
e
?
É verdadeiro ou falso?
Para todo temos
.
Para todo
(f)
.