Suponha que
. Para qual valor de
a área da região limitada pelas curvas
e
é igual a área da região limitada pelas curvas
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas áreas definidas por curvas trigonométricas envolvendo a função cosseno. Precisamos encontrar o valor de
(onde
) que faz com que essas duas áreas sejam iguais. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Vamos identificar as duas áreas mencionadas no problema.
- Primeira Área: Limitada pelas curvas
, e . - Segunda Área: Limitada pelas curvas
, e .
Para encontrar essas áreas, vamos determinar os pontos de interseção das curvas e depois integrar a função apropriada entre esses pontos.
Passo 3
Encontrando a primeira área:
Primeiro, vamos encontrar o ponto onde
.
Sabemos que
implica que
ou
, onde
é inteiro.
No nosso intervalo
, podemos considerar apenas
como ponto de interseção.
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira área entre
e
.
A área entre duas curvas é dada por:
Aqui,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Então,
Passo 5
Vamos resolver essa integral:
Integrando cada termo separadamente:
Então,
Calculando os limites:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda área,
, limitada por
,
e
.
Essa área pode ser encontrada integrando
de
a
:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Integrando:
Então,
Calculando os limites:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, queremos que as duas áreas sejam iguais:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 9
Primeiro, rearranjamos a equação:
Agora, expressamos
em termos de
usando a identidade:
Substituindo na equação:
Passo 10
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Como
, a única solução possível é
, que está fora do intervalo dado.
Caso 2:
Passo 11
Agora, resolvemos para
:
Passo 12
Calculando o valor numérico:
Resposta
O valor de
que torna as duas áreas iguais é aproximadamente
radianos.
Exercícios relacionados
Use séries de potências para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
, erro
;
Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
(d) Em quais pontos
existe apenas o limite à direita
?
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo y