i) sumn=1^infty(-1)^n n!2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. Se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Vamos chamar o termo geral de | an+1an | = | (-1)^n+1 (n+1)!2^n+2(-1)^n n!2^n+1 | = (n+1)!2^n+2 cdot 2^n+1n! = n+12 . Agora, vamos calcular a razão :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão conforme limn to infty n+12 = infty vai para o infinito:

Passo 5

Como o limite é infinito, que é maior que 1, segundo o Teste da Razão, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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