O regime de capitalização composta incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior. É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG) no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no inicio do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial). Gertrudez é uma pessoa muito sortuda. Em todas as loterias que ela aposta ela ganha um certo montante. O montante dessa última loteria foi de R$ 18.500,00. Ela resolveu aplicar esse valor a juros compostos de 2% a.m durante 12 meses. Qual montante aproximado que será gerado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre capitalização composta, que é quando os juros são calculados não só sobre o valor inicial que você investe, mas também sobre os juros que já foram acumulados. No caso da Gertrudez, ela ganhou R$ 18.500,00 na loteria e decidiu aplicar esse dinheiro a uma taxa de 2% ao mês, durante 12 meses. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto dinheiro ela vai ter após esse período.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula de juros compostos. Ela é super útil quando queremos calcular quanto nosso dinheiro vai render ao longo do tempo, considerando que os juros vão se acumulando. A fórmula é:
M = C times (1 + i)^n
Onde:
  • $ M $ é o montante final que queremos encontrar.
  • $ C $ é o capital inicial, ou seja, o valor que foi investido inicialmente (R$ 18.500,00).
  • $ i $ é a taxa de juros por período (no nosso caso, 2% ao mês, que podemos escrever como 0,02).
  • $ n $ é o número de períodos de capitalização (12 meses).

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
M = 18500 times (1 + 0,02)^12
Agora, vamos calcular $ (1 + 0,02)^{12} $. Primeiro, somamos 1 com a taxa de juros:
(1 + 0,02)^12
Então, elevamos 1,02 à 12ª potência:
1 + 0,02 = 1,02

Passo 4

Agora, multiplicamos esse resultado pelo capital inicial para encontrar o montante final:
M = 18500 times 1,26824 approx 23476,64

Resposta

Após 12 meses, o montante aproximado que Gertrudez terá é de R$ 23.476,64.

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