(Regime transiente)
Uma esfera com raio 5 cm é aquecida em um forno mantido a uma temperatura constante de 200^circ C. A temperatura inicial uniforme da partícula é de -25 ^circ C. O coeficiente convectivo é 100 W / m^2 K. Determine a temperatura no centro da esfera e na superfície após 10 min de aquecimento.
Condutivdade térmica: 0,5 W / m K
Calor específico: 1600 J / kg K
Densidade: 800 kg / m^3

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de raio 5 cm que inicialmente está com uma temperatura uniforme de -25^circ C. Ela é colocada em um forno onde a temperatura é mantida constante em 200^circ C. Queremos descobrir qual vai ser a temperatura no centro da esfera e na superfície dela após 10 minutos de aquecimento. Para resolver isso, vamos trabalhar com condução térmica em regime transiente, que é o estudo de como a temperatura varia no tempo dentro de um material. Vamos precisar das propriedades térmicas da esfera: condutividade térmica, calor específico e densidade, além do coeficiente convectivo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
  • Raio da esfera, R = 5 cm = 0,05 m
  • Tempo, t = 10 min = 600 s
  • Temperatura do forno, Tinfty = 200^circ C
  • Temperatura inicial da esfera, Ti = -25^circ C

Passo 3

Vamos identificar as propriedades térmicas fornecidas:
  • Condutividade térmica, k = 0,5 W / m K
  • Calor específico, cp = 1600 J / kg K
  • Densidade, rho = 800 kg / m^3

Passo 4

Para resolver esse problema, vamos usar a equação de condução de calor em regime transiente para uma esfera:
partial Tpartial t = alpha ( 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial Tpartial r ) )
Onde:
  • T é a temperatura,
  • t é o tempo,
  • r é a distância do centro,
  • alpha é a difusividade térmica, que é alpha = krho cp.
Vamos calcular a difusividade térmica alpha.

Passo 5

Calculando a difusividade térmica:
alpha = krho cp = 0,5800 times 1600 = 0,51.280.000 approx 3,90625 times 10^-7 m^2/s

Passo 6

Agora, para resolver a equação de condução de calor, vamos usar a solução de séries de Fourier para uma esfera com condições iniciais e de contorno dadas. A solução geral para a temperatura em um ponto r e tempo t é:
T(r,t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) [ 1 - 6pi^2 sumn=1^infty 1n^2 exp(-alpha n^2 pi^2 tR^2) ]
Como cálculos com séries infinitas são complexos, vamos usar apenas o primeiro termo da série para simplificar e obter uma aproximação razoável.

Passo 7

Considerando apenas o primeiro termo ( n=1):
T(r,t) approx Tinfty + (Ti - Tinfty) ( 1 - 6pi^2 exp(-alpha pi^2 tR^2) )
Vamos calcular o expoente primeiro:
alpha pi^2 tR^2 = 3,90625 times 10^-7 times pi^2 times 600(0,05)^2
= 3,90625 times 10^-7 times 9,8696 times 6000,0025
= 3,90625 times 10^-7 times 5921,760,0025 approx 2,314 times 10^-30,0025 approx 0,9256

Passo 8

Agora, calculamos o termo exponencial:
exp(-0,9256) approx 0,396
Substituindo de volta na expressão da temperatura:
T(r,t) approx 200 + (-25 - 200) ( 1 - 6pi^2 times 0,396 )
= 200 - 225 ( 1 - 69,8696 times 0,396 )
= 200 - 225 ( 1 - 0,241 )
= 200 - 225 times 0,759 approx 200 - 170,78 = 29,22^circ C
Essa é a temperatura no centro da esfera, pois a aproximação considera o centro onde a variação de temperatura é máxima.

Resposta

Após 10 minutos de aquecimento, a temperatura no centro da esfera é aproximadamente 29,2^circ C e na superfície é de 200^circ C.

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