(Regime transiente)
Uma esfera com raio 5 cm é aquecida em um forno mantido a uma temperatura constante de
. A temperatura inicial uniforme da partícula é de
. O coeficiente convectivo é
. Determine a temperatura no centro da esfera e na superfície após 10 min de aquecimento.
Condutivdade térmica:
Calor específico:
Densidade:
Uma esfera com raio 5 cm é aquecida em um forno mantido a uma temperatura constante de
Condutivdade térmica:
Calor específico:
Densidade:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de raio 5 cm que inicialmente está com uma temperatura uniforme de
. Ela é colocada em um forno onde a temperatura é mantida constante em
. Queremos descobrir qual vai ser a temperatura no centro da esfera e na superfície dela após 10 minutos de aquecimento. Para resolver isso, vamos trabalhar com condução térmica em regime transiente, que é o estudo de como a temperatura varia no tempo dentro de um material. Vamos precisar das propriedades térmicas da esfera: condutividade térmica, calor específico e densidade, além do coeficiente convectivo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
- Raio da esfera,
- Tempo,
- Temperatura do forno,
- Temperatura inicial da esfera,
Passo 3
Vamos identificar as propriedades térmicas fornecidas:
- Condutividade térmica,
- Calor específico,
- Densidade,
Passo 4
Para resolver esse problema, vamos usar a equação de condução de calor em regime transiente para uma esfera:
Onde:
-
é a temperatura, -
é o tempo, -
é a distância do centro, -
é a difusividade térmica, que é .
Vamos calcular a difusividade térmica
.
Passo 5
Calculando a difusividade térmica:
Passo 6
Agora, para resolver a equação de condução de calor, vamos usar a solução de séries de Fourier para uma esfera com condições iniciais e de contorno dadas. A solução geral para a temperatura em um ponto
e tempo
é:
Como cálculos com séries infinitas são complexos, vamos usar apenas o primeiro termo da série para simplificar e obter uma aproximação razoável.
Passo 7
Considerando apenas o primeiro termo (
):
Vamos calcular o expoente primeiro:
Passo 8
Agora, calculamos o termo exponencial:
Substituindo de volta na expressão da temperatura:
Essa é a temperatura no centro da esfera, pois a aproximação considera o centro onde a variação de temperatura é máxima.
Resposta
Após 10 minutos de aquecimento, a temperatura no centro da esfera é aproximadamente
e na superfície é de
.