Uma régua de 1,00m de comprimento no referencial S’ faz um ângulo de 30° com o eixo X’. Se a régua está se movendo paralelamente ao eixo X do referencial S com uma velocidade de 0,90c em relação ao referencial S, qual é o comprimento da régua no referencial S?

Passo 1

Ok, vamos lá! Você tem uma régua que mede 1,00 metro no referencial S’ e está fazendo um ângulo de 30° com o eixo X’. Essa régua está se movendo paralelamente ao eixo X do referencial S com uma velocidade de 0,90c (onde c é a velocidade da luz). O que queremos descobrir é qual é o comprimento dessa régua quando observada no referencial S. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade especial, especialmente a contração do comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na relatividade especial, quando um objeto está se movendo em relação a um observador, seu comprimento na direção do movimento sofre uma contração. A fórmula para essa contração é:
L = L0 raiz1 - v^2c^2
Aqui, $ L_0 $ é o comprimento próprio (nosso caso, 1,00 m), $ v $ é a velocidade do objeto (0,90c) e $ c $ é a velocidade da luz.

Passo 3

No entanto, nossa régua não está totalmente alinhada com a direção do movimento; ela faz um ângulo de 30° com o eixo X’. Isso significa que só a parte da régua que está na direção do movimento (paralela ao eixo X) vai sofrer contração. A parte perpendicular não sofre alteração.

Passo 4

Vamos decompor o comprimento da régua em duas partes:
  • Paralela ao movimento (X’): $ L_x = L_0 \cos(\theta’) $
  • Perpendicular ao movimento (Y’): $ L_y = L_0 \sin(\theta’) $
Com $ \theta’ = 30° $, temos:
Lx = L0 cos(theta')
Ly = L0 sin(theta')

Passo 5

Agora, aplicamos a contração do comprimento apenas na componente paralela:
L'x = Lx raiz1 - v^2c^2
Substituindo os valores:
L'x = 0,866 times raiz1 - (0,90)^2 = 0,866 times raiz1 - 0,81 = 0,866 times raiz0,19 approx 0,866 times 0,436 = 0,378 , m

Passo 6

A componente perpendicular $ L_y $ não sofre contração, então permanece:
Ly

Passo 7

Finalmente, para encontrar o comprimento total da régua no referencial S, usamos o teorema de Pitágoras para combinar as duas componentes:
L = raiz(L'x)^2 + (L'y)^2 = raiz(0,378)^2 + (0,500)^2
Calculando:
L = raiz0,142 + 0,250 = raiz0,392 approx 0,626 , m

Resposta

O comprimento da régua no referencial S é aproximadamente 0,63 metros.

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