Uma régua de 1,00m de comprimento no referencial S’ faz um ângulo de 30° com o eixo X’. Se a régua está se movendo paralelamente ao eixo X do referencial S com uma velocidade de 0,90c em relação ao referencial S, qual é o comprimento da régua no referencial S?
Passo 1
Ok, vamos lá! Você tem uma régua que mede 1,00 metro no referencial S’ e está fazendo um ângulo de 30° com o eixo X’. Essa régua está se movendo paralelamente ao eixo X do referencial S com uma velocidade de 0,90c (onde c é a velocidade da luz). O que queremos descobrir é qual é o comprimento dessa régua quando observada no referencial S. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade especial, especialmente a contração do comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na relatividade especial, quando um objeto está se movendo em relação a um observador, seu comprimento na direção do movimento sofre uma contração. A fórmula para essa contração é:
Aqui, $ L_0 $ é o comprimento próprio (nosso caso, 1,00 m), $ v $ é a velocidade do objeto (0,90c) e $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 3
No entanto, nossa régua não está totalmente alinhada com a direção do movimento; ela faz um ângulo de 30° com o eixo X’. Isso significa que só a parte da régua que está na direção do movimento (paralela ao eixo X) vai sofrer contração. A parte perpendicular não sofre alteração.
Passo 4
Vamos decompor o comprimento da régua em duas partes:
- Paralela ao movimento (X’): $ L_x = L_0 \cos(\theta’) $
- Perpendicular ao movimento (Y’): $ L_y = L_0 \sin(\theta’) $
Com $ \theta’ = 30° $, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a contração do comprimento apenas na componente paralela:
Substituindo os valores:
Passo 6
A componente perpendicular $ L_y $ não sofre contração, então permanece:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o comprimento total da régua no referencial S, usamos o teorema de Pitágoras para combinar as duas componentes:
Calculando:
Resposta
O comprimento da régua no referencial S é aproximadamente 0,63 metros.