Em relação a uma f definida como f: R^3 -> R, tal que f(x, y, z) = 2*x + y^3 - cos(z). O gradiente de f é
a) 2,3, cos(z)
b) 2 x, 3 y, -cos z
c) (2x, 3y^2, sen(z))
d) (2,3y^2, sen(z))

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado da questão. A gente tem uma função que recebe três números reais , e e retorna outro número real. A função é dada por:
O que a questão quer é que a gente encontre o gradiente dessa função. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função. Ele é representado por:
Ou seja, o gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial, que é a de em relação a . Olhando para a função , percebemos que ao derivar com relação a , e são tratados como constantes. Então:

Passo 4

Agora, vamos para a derivada parcial em relação a . Novamente, tratamos e como constantes:
Aqui usamos a regra da potência, onde a derivada de é .

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a . Mantendo e constantes:
Lembre que a derivada de é .

Resposta

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de fica:
Comparando com as alternativas, vemos que a resposta correta é a letra d):

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