Em relação a uma
definida como
, tal que
. O gradiente de
é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado da questão. A gente tem uma função
que recebe três números reais
,
e
e retorna outro número real. A função é dada por:
O que a questão quer é que a gente encontre o gradiente dessa função. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função. Ele é representado por:
Ou seja, o gradiente é formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial, que é a de
em relação a
. Olhando para a função
, percebemos que ao derivar com relação a
,
e
são tratados como constantes. Então:
Passo 4
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a
. Novamente, tratamos
e
como constantes:
Aqui usamos a regra da potência, onde a derivada de
é
.
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a
. Mantendo
e
constantes:
Lembre que a derivada de
é
.
Resposta
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de
fica:
Comparando com as alternativas, vemos que a resposta correta é a letra d):