As equações e , representam, respectivamente, uma parábola e uma reta. Sabe-se que tal reta e tal parábola delimitam uma determinada região.
Qual é a área dessa região?
a) 256 unidades de área.
b) unidades de área.
c) unidades de área.
d) 128 unidades de área.

Passo 1

Ok, bora lá! A gente tem duas equações: a parábola e a reta . O que a gente precisa encontrar é a área da região que essas duas curvas delimitam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se interceptam. Isso quer dizer, vamos igualar as duas equações para achar os valores de onde elas se encontram.
Vamos resolver essa equação:
Então, . Isso significa que as duas curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se interceptam, vamos entender qual delas está acima da outra no intervalo entre e .
Para isso, escolhemos um valor de nesse intervalo, por exemplo, :
á
Vemos que a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 4

A área delimitada pelas duas curvas pode ser encontrada integrando a diferença entre as funções no intervalo de a . A fórmula para a área é:
á

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:

Resposta

A área da região é unidades de área. A opção correta é a letra b).

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A geratriz de um cone reto mede 24 cm . Sabe-se que a superfície lateral planificada desse cone é um setor circular de .
O volume do cone é
a)
b)
c)
d)
Considere um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio igual a 12 cm e um quadrado inscrito em uma circunferência de raio igual a 6 cm .
Qual é a razão entre o lado desse triângulo e o apótema do quadrado?
a)
b)
c)
d)
Em relação aos limites abaixo.
I.
II.
III.
Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s)
a) I.
b) III.
c) I e II.
d) II e III.
Em relação a uma definida como , tal que . O gradiente de é
a)
b)
c)
d)