As equações y = -x^2 + 9 e y = -7, representam, respectivamente, uma parábola e uma reta. Sabe-se que tal reta e tal parábola delimitam uma determinada região.
Qual é a área dessa região?
a) 256 unidades de área.
b) 256/3 unidades de área.
c) 128/3 unidades de área.
d) 128 unidades de área.

Passo 1

Ok, bora lá! A gente tem duas equações: a parábola e a reta . O que a gente precisa encontrar é a área da região que essas duas curvas delimitam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se interceptam. Isso quer dizer, vamos igualar as duas equações para achar os valores de onde elas se encontram.
Vamos resolver essa equação:
Então, . Isso significa que as duas curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se interceptam, vamos entender qual delas está acima da outra no intervalo entre e .
Para isso, escolhemos um valor de nesse intervalo, por exemplo, :
á
Vemos que a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 4

A área delimitada pelas duas curvas pode ser encontrada integrando a diferença entre as funções no intervalo de a . A fórmula para a área é:
á

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:

Resposta

A área da região é unidades de área. A opção correta é a letra b).

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