As equações
e
, representam, respectivamente, uma parábola e uma reta. Sabe-se que tal reta e tal parábola delimitam uma determinada região.
Qual é a área dessa região?
a) 256 unidades de área.
b)
unidades de área.
c)
unidades de área.
d) 128 unidades de área.
Qual é a área dessa região?
a) 256 unidades de área.
b)
c)
d) 128 unidades de área.
Passo 1
Ok, bora lá! A gente tem duas equações: a parábola
e a reta
. O que a gente precisa encontrar é a área da região que essas duas curvas delimitam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se interceptam. Isso quer dizer, vamos igualar as duas equações para achar os valores de
onde elas se encontram.
Vamos resolver essa equação:
Então,
. Isso significa que as duas curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se interceptam, vamos entender qual delas está acima da outra no intervalo entre
e
.
Para isso, escolhemos um valor de
nesse intervalo, por exemplo,
:
Vemos que a parábola está acima da reta nesse intervalo.
Passo 4
A área delimitada pelas duas curvas pode ser encontrada integrando a diferença entre as funções no intervalo de
a
. A fórmula para a área
é:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Resposta
A área da região é
unidades de área. A opção correta é a letra b).