Segundo a lei de Boyle, a pressão ( p ) a uma altura (h) é dada por p(h) = p0 * e^(-α * h), em que p0 é a pressão atmosférica ao nível do mar e alpha é uma constante real.
A função h(p), que apresenta domínio (0, p0] e conjunto imagem [0,+infinito), é definida por
a) h(p) = alpha * ln(p0 + p)
b) h(p) = α ln(p0 - p)
c) h(p) = (1/alpha) ln(p/p0)
d) h(p) = (1/α) ln (p_0/p)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre a lei de Boyle, que relaciona a pressão a uma altura usando a fórmula . Nosso objetivo é encontrar a função inversa , que nos dá a altura em função da pressão. Para isso, vamos precisar manipular exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, começamos com a equação dada:
Queremos encontrar em termos de , então precisamos isolar .

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados da equação por para simplificar:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, para tirar o do expoente, vamos usar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos isolar dividindo ambos os lados por :
Note que trocamos a ordem dentro do logaritmo para tornar a expressão positiva.

Resposta

A função inversa é:
Portanto, a alternativa correta é a d).

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