Em relação aos limites abaixo.
I. lim x +infty 4 x-5raiz4 x^2-5=2
II. lim x 0 9 x-sen 3 x3 x+2 sen 6 x=25
III. lim x 2 4^x-16x-2=ln 4
Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s)
a) I.
b) III.
c) I e II.
d) II e III.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre limites, que é um conceito fundamental em Cálculo. Precisamos verificar se as igualdades dadas nas afirmações I, II e III estão corretas. Para resolver isso, vamos calcular cada um desses limites passo a passo.

Passo 2

Limite I: 4x - 5raiz4x^2 - 5 = x(4 - 5x)xraiz4 - 5x^2 = 4 - 5xraiz4 - 5x^2
Quando 4 - 0raiz4 - 0 = 42 = 2 vai para , tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limites. A gente pode simplificar dividindo numerador e denominador pelo termo de maior grau, que nesse caso é .
Agora, quando tende a , e vão para 0:
Então, a afirmação I está correta.

Passo 3

Limite II: limx to 0 (9x - sin 3x) = 0 e limx to 0 (3x + 2sin 6x) = 0
Para resolver esse limite quando limx to 0 9 - 3cos 3x3 + 12cos 6x = 9 - 3(1)3 + 12(1) = 615 = 25 tende a 0, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .
Primeiro, verificamos os limites do numerador e denominador:
Então, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, calculamos o limite das derivadas:
Então, a afirmação II também está correta.

Passo 4

Limite III: limx to 2 4^x - 4^2x - 2 = ddx4^x g|x=2 = 4^x ln 4 g|x=2 = 4^2 ln 4 = 16 ln 4
Esse limite tem a forma , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital ou reconhecer que é a derivada de em .
Usando a definição de derivada:
Mas a afirmação III diz que o limite é , o que não condiz com o resultado que obtivemos.
Então, a afirmação III está incorreta.

Resposta

c) I e II.

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