Em relação aos limites abaixo.
I.
II.
III.
Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s)
a) I.
b) III.
c) I e II.
d) II e III.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre limites, que é um conceito fundamental em Cálculo. Precisamos verificar se as igualdades dadas nas afirmações I, II e III estão corretas. Para resolver isso, vamos calcular cada um desses limites passo a passo.
Passo 2
Limite I:
Quando vai para , tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limites. A gente pode simplificar dividindo numerador e denominador pelo termo de maior grau, que nesse caso é .
Agora, quando tende a , e vão para 0:
Então, a afirmação I está correta.
Passo 3
Limite II:
Para resolver esse limite quando tende a 0, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .
Primeiro, verificamos os limites do numerador e denominador:
Então, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, calculamos o limite das derivadas:
Então, a afirmação II também está correta.
Passo 4
Limite III:
Esse limite tem a forma , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital ou reconhecer que é a derivada de em .
Usando a definição de derivada:
Mas a afirmação III diz que o limite é , o que não condiz com o resultado que obtivemos.