Qual a relação entre as funções bijetoras e as funções invertíveis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta qual é a relação entre funções bijetoras e funções invertíveis. Para responder isso, precisamos entender o que são funções bijetoras e o que significa uma função ser invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre funções bijetoras. Uma função é chamada de bijetora quando ela atende a duas condições:
  1. Injetora (ou injeção): Cada elemento do conjunto de saída é mapeado por no máximo um elemento do conjunto de entrada. Em outras palavras, não há dois elementos diferentes do domínio que apontam para o mesmo elemento no contradomínio.
  2. Sobrejetora (ou sobrejeção): Cada elemento do conjunto de saída é mapeado por pelo menos um elemento do conjunto de entrada. Ou seja, não sobra nenhum elemento no contradomínio que não seja atingido pela função.
Quando uma função satisfaz essas duas condições, ela é bijetora.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre funções invertíveis. Uma função é invertível se existe outra função que “desfaz” a ação da função original. Em termos matemáticos, se é invertível, então existe tal que:

Passo 4

A relação entre essas duas ideias é que toda função bijetora é invertível, e toda função invertível é bijetora. Isso acontece porque:
  • Bijetora → Invertível: Se uma função é bijetora, ela tem uma correspondência única entre elementos de A e B, garantindo que possamos “voltar” de B para A de forma bem definida.
  • Invertível → Bijetora: Se uma função tem uma inversa, cada elemento de B deve ser mapeado por exatamente um elemento de A (injetora e sobrejetora), tornando-a bijetora.

Resposta

Em resumo, funções bijetoras e funções invertíveis são a mesma coisa. Uma função é invertível se e somente se ela for bijetora.

Exercícios relacionados

Nas funções abaixo, indique o domínio, a imagem e construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos de e .
Nas funções abaixo, indique o domínio, a imagem e construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos de e .
A função é invertível? Justifique sua resposta.
Restrinja o domínio da função do exercício anterior de modo que seja possível encontrar uma função invertível. Determine sua inversa.