Nas funções abaixo, indique o domínio, a imagem e construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos de
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para indicar o domínio, a imagem e construir os gráficos de
e sua inversa
. Aqui, estamos trabalhando com funções matemáticas, especificamente funções que envolvem radiciação e inversas. Para resolver, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, como encontrar a função inversa e como representar graficamente essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, resolvemos:
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo, temos:
Logo, a imagem de
é
.
Passo 4
Vamos encontrar a função inversa
. Para isso, trocamos
por
e resolvemos para
:
Trocando
e
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Portanto, a função inversa é:
Passo 5
Vamos agora determinar o domínio e a imagem da função inversa
.
Para o domínio de
, observamos que
é um polinômio do segundo grau, que está definido para todos os números reais. Então:
Para a imagem de
, já que
é sempre não negativo, temos:
Logo, a imagem de
é
.
Passo 6
Finalmente, vamos esboçar os gráficos de
e
no mesmo plano cartesiano.
-
Gráfico de
: É uma curva que começa no ponto e se eleva para a direita, representando a raiz quadrada deslocada 1 unidade para a esquerda. -
Gráfico de
: É uma parábola com vértice no ponto que abre para cima.
Os gráficos se interceptam no ponto
e
, mostrando a relação de função inversa entre eles.
Resposta
- Domínio de
: - Imagem de
: - Função inversa:
- Domínio de
: - Imagem de
: - Gráficos:
é uma curva iniciando em e é uma parábola com vértice em , ambos plotados no mesmo plano cartesiano.
Exercícios relacionados
Nas funções abaixo, indique o domínio, a imagem e construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos de
e
.
Nas funções abaixo de
em
obtenha a lei de correspondência que define a função inversa.
Qual a relação entre as funções bijetoras e as funções invertíveis?
A função
é invertível? Justifique sua resposta.