Nas funções abaixo, indique o domínio, a imagem e construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos de e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para indicar o domínio, a imagem e construir os gráficos de e sua inversa . Aqui, estamos trabalhando com funções matemáticas, especificamente funções que envolvem radiciação e inversas. Para resolver, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, como encontrar a função inversa e como representar graficamente essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, resolvemos:
Portanto, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo, temos:
Logo, a imagem de é .

Passo 4

Vamos encontrar a função inversa . Para isso, trocamos por e resolvemos para :
Trocando e :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Portanto, a função inversa é:

Passo 5

Vamos agora determinar o domínio e a imagem da função inversa .
Para o domínio de , observamos que é um polinômio do segundo grau, que está definido para todos os números reais. Então:
í
Para a imagem de , já que é sempre não negativo, temos:
Logo, a imagem de é .

Passo 6

Finalmente, vamos esboçar os gráficos de e no mesmo plano cartesiano.
  • Gráfico de : É uma curva que começa no ponto e se eleva para a direita, representando a raiz quadrada deslocada 1 unidade para a esquerda.
  • Gráfico de : É uma parábola com vértice no ponto que abre para cima.
Os gráficos se interceptam no ponto e , mostrando a relação de função inversa entre eles.

Resposta

  • Domínio de :
  • Imagem de :
  • Função inversa:
  • Domínio de :
  • Imagem de :
  • Gráficos: é uma curva iniciando em e é uma parábola com vértice em , ambos plotados no mesmo plano cartesiano.

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