Nas funções abaixo, indique o domínio, a imagem e construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função . O que o problema pede é para encontrar o domínio (os valores que x pode assumir), a imagem (os resultados possíveis da função) e também desenhar os gráficos de e da função inversa no mesmo plano cartesiano. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso de , não temos nenhuma restrição, porque podemos elevar qualquer número real ao cubo. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir. Como pode gerar qualquer número real (positivo, negativo ou zero) dependendo do valor de x, a imagem também é:
Passo 4
Chegou a hora de encontrar a função inversa. A função inversa desfaz o que a função original faz. Para encontrar , a gente troca x por y e resolve para y:
Agora, isolamos y:
Então, a função inversa é:
Passo 5
Vamos resumir:
Função Original:
Função Inversa:
Domínio:
Imagem:
Passo 6
Agora, vamos falar sobre os gráficos dessas funções. O gráfico de é uma curva que passa pela origem (0,0) e sobe para a direita e desce para a esquerda, formando uma espécie de “S” inclinado. Por outro lado, o gráfico da função inversa é simétrico em relação à linha .
Como as duas funções são inversas uma da outra, elas serão imagens especulares uma da outra em relação a essa linha. Quando desenhamos ambas no mesmo plano cartesiano, veremos que elas se cruzam na linha .
Resposta
Domínio: Todos os números reais ()
Imagem: Todos os números reais ()
Gráficos: e desenhados no mesmo plano, sendo simétricos em relação à linha .