Invertendo a ordem de integração, calcule a integral
.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
. Vamos trabalhar com cálculo de integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como reescrevê-los quando trocamos a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
até 3. Isso significa que a área de integração está entre a linha
e
, para
de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar
em termos de
. A linha
rearranjada fica
. Observando os limites de
, vemos que
varia de 0 a 3. Para cada
,
vai de 0 até
.
Passo 4
Com os novos limites, a integral fica:
Isso simplifica porque
não depende de
, então a integral interna em
é fácil de resolver.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Assim, a integral se reduz a:
Passo 6
Para resolver
, usamos a substituição. Seja
, então
ou
.
Passo 7
Substituindo na integral: