Invertendo a ordem de integração, calcule a integral .

Passo 1

Beleza! O exercício pede para inverter a ordem de integração na integral dupla . Vamos trabalhar com cálculo de integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como reescrevê-los quando trocamos a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 3. Isso significa que a área de integração está entre a linha e , para de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar em termos de . A linha rearranjada fica . Observando os limites de , vemos que varia de 0 a 3. Para cada , vai de 0 até .

Passo 4

Com os novos limites, a integral fica:
Isso simplifica porque não depende de , então a integral interna em é fácil de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em :
Assim, a integral se reduz a:

Passo 6

Para resolver , usamos a substituição. Seja , então ou .

Passo 7

Substituindo na integral:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a integral
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas e .
Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
b.
Considere o sistema de equações lineares:
Resolva o sistema utilizando decomposição .
Considere o sistema de equações lineares:
O Método Iterativo de Gauss-Jacobi seria convergente para a solução do sistema dado? Justifique sua resposta usando as condições de convergência do método.