Invertendo a ordem de integração, calcule a integral .
Passo 1
Beleza! O exercício pede para inverter a ordem de integração na integral dupla . Vamos trabalhar com cálculo de integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como reescrevê-los quando trocamos a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 3. Isso significa que a área de integração está entre a linha e , para de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar em termos de . A linha rearranjada fica . Observando os limites de , vemos que varia de 0 a 3. Para cada , vai de 0 até .
Passo 4
Com os novos limites, a integral fica:
Isso simplifica porque não depende de , então a integral interna em é fácil de resolver.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em :
Assim, a integral se reduz a:
Passo 6
Para resolver , usamos a substituição. Seja , então ou .