Invertendo a ordem de integração, calcule a integral integral0^1 integral3 x^3 e^y^2 d y d x.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para inverter a ordem de integração na integral dupla . Vamos trabalhar com cálculo de integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como reescrevê-los quando trocamos a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 3. Isso significa que a área de integração está entre a linha e , para de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar em termos de . A linha rearranjada fica . Observando os limites de , vemos que varia de 0 a 3. Para cada , vai de 0 até .

Passo 4

Com os novos limites, a integral fica:
integral0^3 integral0^y3 e^y^2 , dx , dy
Isso simplifica porque não depende de , então a integral interna em é fácil de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em integral0^y3 e^y^2 , dx = e^y^2 cdot (y3 - 0) = y3 e^y^2 :
13 integral0^3 y e^y^2 , dy
Assim, a integral se reduz a:

Passo 6

Para resolver , usamos a substituição. Seja , então ou .

Passo 7

Substituindo na integral:
13 cdot 12 integral0^9 e^u , du = 16 [ e^u ]0^9 = 16 (e^9 - e^0) = 16 (e^9 - 1)

Resposta

e^9 - 16

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