Releia a discussão imediatamente após o Exemplo 5. Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem para a qual todas as soluções são assintóticas à reta
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos construir uma equação diferencial linear de primeira ordem onde todas as soluções tendem a se aproximar da reta
conforme
vai para infinito. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares e o comportamento assintótico das soluções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela pode ser escrita como:
Aqui,
e
são funções que dependem de
. Nosso objetivo é encontrar essas funções de modo que todas as soluções dessa equação se aproximem da reta
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos considerar que
é uma solução particular da nossa equação diferencial. Para verificar isso, vamos substituir
e
na equação geral.
Calculando a derivada de
:
Substituindo na equação:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 4
Queremos que todas as soluções da equação diferencial sejam assintóticas a
. Isso significa que, para grandes valores de
, as soluções se comportam como
.
Para garantir isso, uma maneira de proceder é escolher
de forma que a parte que não envolve
diminua quando
tende ao infinito. Uma escolha comum é definir
como uma função que tende a zero quando
aumenta.
Passo 5
Vamos escolher
como uma função que decresce com
. Por simplicidade, podemos escolher
. Assim, conforme
aumenta,
tende a zero, o que ajuda a garantir que as soluções tendam à reta desejada.
Substituindo
na relação anterior:
Passo 6
Agora temos
e
. Substituindo esses valores na forma geral da equação diferencial:
Essa é a equação diferencial linear de primeira ordem que atende à condição de que todas as suas soluções são assintóticas à reta
quando
.
Resposta
A equação diferencial linear de primeira ordem buscada é:
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Reescreva as desigualdades a seguir na notação de intervalo:
Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em
e na condição inicial dada.
Calcule as expressões a seguir:
Calcule as expressões a seguir: