Releia a discussão imediatamente após o Exemplo 5. Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem para a qual todas as soluções são assintóticas à reta quando .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos construir uma equação diferencial linear de primeira ordem onde todas as soluções tendem a se aproximar da reta conforme vai para infinito. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares e o comportamento assintótico das soluções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ela pode ser escrita como:
Aqui, e são funções que dependem de . Nosso objetivo é encontrar essas funções de modo que todas as soluções dessa equação se aproximem da reta quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos considerar que é uma solução particular da nossa equação diferencial. Para verificar isso, vamos substituir e na equação geral.
Calculando a derivada de :
Substituindo na equação:
Isso nos dá uma relação entre e :

Passo 4

Queremos que todas as soluções da equação diferencial sejam assintóticas a . Isso significa que, para grandes valores de , as soluções se comportam como .
Para garantir isso, uma maneira de proceder é escolher de forma que a parte que não envolve diminua quando tende ao infinito. Uma escolha comum é definir como uma função que tende a zero quando aumenta.

Passo 5

Vamos escolher como uma função que decresce com . Por simplicidade, podemos escolher . Assim, conforme aumenta, tende a zero, o que ajuda a garantir que as soluções tendam à reta desejada.
Substituindo na relação anterior:

Passo 6

Agora temos e . Substituindo esses valores na forma geral da equação diferencial:
Essa é a equação diferencial linear de primeira ordem que atende à condição de que todas as suas soluções são assintóticas à reta quando .

Resposta

A equação diferencial linear de primeira ordem buscada é:

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Reescreva as desigualdades a seguir na notação de intervalo:
Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em e na condição inicial dada.
Calcule as expressões a seguir:
Calcule as expressões a seguir: