Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em
e na condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente analisar, usando o Teorema 1.2.1, se existe uma solução única para o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Então, vamos precisar entender o que diz esse teorema e como aplicá-lo nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. A equação
pode ser rearranjada para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Vamos dividir ambos os lados por
(desde que
) para obter:
Aqui, temos
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que o Teorema 1.2.1 nos diz sobre existência e unicidade. Geralmente, esse teorema afirma que se
e
são contínuos em um intervalo que contém o ponto inicial
, então existe uma única solução para a equação diferencial naquele intervalo.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade de
e
. A função
é um polinômio multiplicado por uma função exponencial, o que é contínuo para todo
. Já
é contínua em todos os
exceto em
.
Passo 5
O problema de valor inicial nos dá
. Entretanto, percebemos que
não é contínuo em
. Isso significa que o Teorema 1.2.1 não pode ser aplicado diretamente no ponto
, já que uma das condições necessárias (continuidade de
e
no intervalo) não é satisfeita.
Passo 6
Como
não é contínuo em
, não podemos garantir, pelo Teorema 1.2.1, que existe uma solução única nesse ponto específico. Portanto, a unicidade e a existência da solução não são asseguradas pelo teorema neste caso.
Resposta
Com base no Teorema 1.2.1, devido à descontinuidade de
em
, não podemos garantir a existência e unicidade da solução do problema de valor inicial
para a equação
.