Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em e na condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente analisar, usando o Teorema 1.2.1, se existe uma solução única para o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com a condição inicial . Então, vamos precisar entender o que diz esse teorema e como aplicá-lo nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. A equação pode ser rearranjada para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Vamos dividir ambos os lados por (desde que ) para obter:
Aqui, temos e .
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que o Teorema 1.2.1 nos diz sobre existência e unicidade. Geralmente, esse teorema afirma que se e são contínuos em um intervalo que contém o ponto inicial , então existe uma única solução para a equação diferencial naquele intervalo.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade de e . A função é um polinômio multiplicado por uma função exponencial, o que é contínuo para todo . Já é contínua em todos os exceto em .
Passo 5
O problema de valor inicial nos dá . Entretanto, percebemos que não é contínuo em . Isso significa que o Teorema 1.2.1 não pode ser aplicado diretamente no ponto , já que uma das condições necessárias (continuidade de e no intervalo) não é satisfeita.
Passo 6
Como não é contínuo em , não podemos garantir, pelo Teorema 1.2.1, que existe uma solução única nesse ponto específico. Portanto, a unicidade e a existência da solução não são asseguradas pelo teorema neste caso.
Resposta
Com base no Teorema 1.2.1, devido à descontinuidade de em , não podemos garantir a existência e unicidade da solução do problema de valor inicial para a equação .
Exercícios relacionados
Expresse a solução do problema de valor inicial termos de .
Reescreva os intervalos a seguir na forma de desigualdades:
Reescreva as desigualdades a seguir na notação de intervalo:
Releia a discussão imediatamente após o Exemplo 5. Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem para a qual todas as soluções são assintóticas à reta quando .